Enunciado

Encontre dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima.

Beleza, como a gente não conhece esses números, vamos chama-los de x e y . Assim, sabendo que o produto entre eles vale 100 , teremos:

x y = 100

Mas quando eu somo esses números eu tenho o menor valor possível!

S = x + y

Isso significa que vamos ter que minimizar S para descobrir os valores de x e y . Pra isso, vamos começar escrevendo y em função de x e substituindo na soma S . Depois, tendo apenas uma incógnita, vamos encontrar os pontos críticos da equação (derivando e igualando a zero). Assim, descobrimos o valor de uma das incógnitas e substituímos na equação para encontrar a outra.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar isolando y na nossa primeira equação:

y = 100 x

Substituindo isso na equação da soma, vamos ter:

S = x + y

S = x + 100 x

Tirando o MMC:

S = x 2 + 100 x

Passo 3

Agora vamos encontrar o valor mínimo dessa expressão. Vamos começar derivando S em relação a x , usando a regra do quociente:

S ' = 2 x 2 - x 2 - 100 x 2

S ' = x 2 - 100 x 2

Agora igualando esse resultado a zero, temos:

x 2 - 100 x 2 = 0

Como o denominador não pode zerar, ficamos com:

x 2 - 100 = 0

E isolando x na equação:

x 2 = 100

x = 10

Para encontrar y , substituindo esse resultado na primeira equação do passo 2 . E temos:

y = 100 10

y = 10

Logo, os números são 10 e 10 são os números positivos cujo produto é 100 e cuja soma é mínima.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

O s   n ú m e r o s   s ã o   10   e   10

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