Enunciado

A equação de Liénard (Problema 30 da Seção 9.3) é

d 2 v d t 2 + c v . d v d t + g v = 0

Em que g satisfaz as condições do Problema 6 e c v ≥ 0 . Mostre que o ponto v = 0 , d v / d t = 0 é um ponto crítico estável.

Passo 1

Como g satisfaz as condições do Problema 6, então, teremos:

g 0 = 0

g v > 0

Para 0 < v < k . E também:

g v < 0

Para - k < v < 0 . Ainda do Problema 6, temos:

x = v

y = v '

Então podemos escrever:

x ' = y → y ' = - c x y - g ( x )

E, da seguinte condição:

x = y = 0

Ainda temos:

x ' = 0

y ' = - g 0 = 0

Então o ponto v = v ' = 0 é um ponto crítico.

Passo 2

Agora precisamos determinar a natureza do ponto crítico. Para isso vamos tomar uma equação de Liapunov na forma:

V x , y = 1 2 y 2 + ∫ 0 x g s d s

E, com isso, teremos que V 0,0 = 0 e V será definida positiva em uma vizinhança próxima a origem. Agora, podemos escrever a taxa de variação de V como:

V ˙ = V x . d x d t + V y . d y d t

No nosso caso temos:

d x d t = y

d y d t = - c x y - g ( x )

Passo 3

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para V ˙ , temos:

V ˙ = g x y - y c x y - g x = y g x - y 2 c x + y g ( x )

V ˙ = - y 2 c ( x )

Então, nós teremos V ˙ ≤ 0 , dessa forma, V ˙ será semi-definida negativa, então a origem será um ponto crítico estável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Neste problema, vamos examinar a diferença de fase entre as variações cíclicas das populações de predadores e de presas dadas pelas Eqs. (24) desta seção. Vamos supor que K0 e que o tempo t é medido a
Estime a razão entre as amplitudes para a solução do sistema não linear (2) ilustrada na Figura 9.5.3. Esse resultado está de acordo com o obtido da aproximação linear?
Encontre a razão entre as amplitudes das oscilações das populações de presas e de predadores em torno do ponto crítico (c/γ, a/α) usando a aproximação (24), válida para oscilações pequenas. Observe qu
Considere o sistemaem que a, σ, α, c e γ são constantes positivas. . Encontre todos os pontos críticos do sistema dado. Como variam suas localizações quando σ aumenta a partir de zero? Suponha que a/σ
Considere o sistemaem que σ0. Note que esse sistema é uma modificação do sistema (2) no Exemplo 1.Desenhe um campo de direções e um retrato de fase para um valor de σ entre zero e σ1; para um valor de