Enunciado

Prove a regra de Cauchy.

Passo 1

Certo, primeiro vamos mostrar que uma g(b) seja diferente de g(a). Primeiro suponhamos g(b) = g(a). Como g satisfaz as duas condições da hipótese do teorema do valor médio, existe algum número c em (a,b) tal que g’(c) = [g(b) – g(a)]/(b-a). Mas a condição (iii) da hipótese desse teorema estabelece que para todo x em (a,b), g’(x) é diferente de 0. Há portanto uma contradição. Logo, a hipótese de que g(b) = g(a) é falsa. Assim g(b) é diferente de g(a) e, consequentemente, g(b) – g(a) é diferente de 0.

Passo 2

Consideremos agora a função h definida por:

h (x) = f (x) - f (a) - [(f (b) - f (a))/(g (b) - g (a))] [ g (x) - g ( a ) ]

Logo

h^' (x) = f^' (x) - [(f (b) - f (a))/(g (b) - g (a))] g ' ( x )

Portanto:

h (a) = 0

h (b) = 0

Passo 3

Dessa forma, a função h satisfaz as três condições do teorema de Rolle. Logo, existe um númeo z aberto (a,b) tal que h’(z) =0. Assim:

f^' (z) - ((f (b) - f (a)))/(g (b) - g (a)) g^' (z) = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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