Enunciado

37. O gráfico de 𝑔 é dado.

(a) Em quais números g é descontínua? Por quê?

( b ) Em quais números g não é diferenciável? Por quê?

Passo 1

Você lembra quais são os casos em que a derivada não existe?

Só olhando no gráfico!!!

Não se desespere, falarei no próximo passo e deixarei o passo 3 para verificarmos onde não é diferenciável.

Caso, a tangente seja vertical ou a gente tenha um bico ou uma descontinuidade naquele ponto, então a função não será diferenciável.

E como verificamos se a função é descontínua?

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x ) = lim x → a ⁡ f ( x )

E temos essa condição também.

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

No gráfico o que tem que acontecer é:

O limite á esquerda é igual ao da direita que é igual ao valor numérico da função naquele ponto, se a função não respeitar uma dessas condições ela não será contínua.

Passo 2

Lembrando que se uma função não for diferenciável em um ponto, então ela não é contínua.

O ponto, x = - 2 , que contém o círculo não é contínua pois o limite não é igual ao valor numérico da função, O valor numérico está um pouco para baixo.

Nesse ponto x = - 1 , a função não é diferenciável, por possuir um “bico” e também não é contínua portanto.

A função possui um “bico” na abscissa 2 , logo a função não é diferenciável e nem contínua nesse ponto.

Passo 3

A função não é contínua nesse ponto de abscissa, x = 5 , pois os limites laterais são diferentes.

Agora para finalizar, falarei de três pontos, em que não conseguiremos afirmar com certeza qual a sua abscissa, porém você pode ter pensando neles

Esse ponto de abscissa de aproximadamente 4,5 não é diferenciável por conter uma tangente vertical, e por não ser diferenciável, também não é contínua!!

Esse ponto de aproximadamente x = - 0,5 tem tangente vertical o que torna a função nesse ponto não diferenciável e não continua!

Esse ponto de aproximadamente x = 0,5 tem tangente vertical o que torna a função nesse ponto não diferenciável e não continua!

E função não está definida para a origem, logo não é contínua.

Resposta

  1. x = - 2 ; x = - 1 ; x = 2 ; x = - 4,5 ; x = - 0,5 ; x = 0,5 ; x = 0
  2. x = - 1 ; x = 2 ; x = - 4,5 ; x = - 0,5 ; x = 0,5
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25. Dada f x = s g nx . (a) Prove que f ´ + 0ef ´ - 0 não existem. (b) Prove que lim x → 0 + ⁡ f ´ ( x ) = 0elim x → 0 - ⁡ f ´ ( x ) = 0 . (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra ( b )
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