Enunciado

37-38 Estime o valor de f ' ( a ) dando um zoom no gráfico de f . Depois derive a f e determine o valor exato de f ' ( a ) e compare com a sua estimativa.

37. f ( x ) = 3 x 2 - x 3   ,   a = 1

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão pediu pra gente dar um zoom no gráfico da função

f x = 3 x 2 - x 3

Para estimar o valor de f ' a , sendo a = 1 .

E depois disso, determinar o valor exato de f ' a , derivando a função f x no ponto a , para então, comparar os dois resultados e ver se nossa estimativa foi boa.

Vamos então começar traçando o gráfico da função e lembrando que a derivada da função em um ponto pode ser entendida como a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto.

Assim, basta traçar também a reta tangente ao gráfico da função no ponto pedido e calcular seu coeficiente angular. Lembrando que:

m = y 1 - y 2 x 1 - x 2

Depois disso, vamos derivar, de fato, a função f ( x ) e comparar como o resultado obtido anteriormente.

Vamos nessa!

Passo 2

Começamos desenhando o gráfico da função f x

Sendo:

f x = 3 x 2 - x 3

Agora vamos dar um zoom no ponto x = a = 1

Faremos primeiramente o gráfico de f ( x ) .

Vamos traçar um triângulo retângulo para determinar o coeficiente angular da nossa reta. Observe:

Lembrando que:

f ' 1 = m = y 1 - y 2 x 1 - x 2

E considerando P 1 1   ,   2 e P 2 ( 1,2   ,   2,6 )

Teremos:

f ' ( 1 ) = 2,6 - 2 1,2 - 1 = 0,6 0,2 = 3

É aproximado, pois não conseguiríamos traçar certinha a reta!

Passo 3

Agora faremos a derivada f ' ( x ) da função para poder comparar com o que já temos. Assim:

f ´ x = d d x 3 x 2 - x 3

Aplicando a regra de derivação em cada termo, ficamos com:

d d x 3 x 2 + d d x - x 3

d d x 3 x 2 = 6 x

d d x - x 3 = - 3 x 2

Assim, nossa derivada se torna:

f ´ ( x ) = 6 x - 3 x 2

Passo 4

Agora substituirmos o valor de a = 1 para acharmos o valor de f ´ ( a ) .

f ´ ( 1 ) = 6 1 - 3 1 2 = 6 - 3 = 3

Que é igual ao que estimamos no gráfico!!

E prontinho! Questão resolvida.

Resposta

f ´ ( 1 ) = 3

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