Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 36
O gráfico da derivada de uma função contínua está ilustrado.
(a) Em que intervalos está crescendo ou decrescendo?
(b) Em que valores de a função tem um mínimo ou máximo local?
(c) Em que intervalos é côncava para cima ou para baixo?
(d) Diga as coordenadas dos pontos de inflexão.
(e) Supondo que , esboce o gráfico de .
Passo 1
Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui iremos analisar o gráfico da primeira derivada de uma função e a partir dai iremos fazer inferências sobre essa função.
Passo 2
Item a:
O sinal da derivada indica se função está crescendo (derivada positiva) ou decrescendo (derivada negativa). Podemos observar no gráfico que nos intervalos e temos e nos intervalos e , então:
é crescente nos intervalos e e decrescente nos intervalos e .
Passo 3
Item b:
Se passa de positiva para negativa temos uma máximo local e se passa de negativo para positivo temos um mínimo local. Então, temos máximo local em e temos mínimo local em e .
Passo 4
Item c:
A concavidade de uma função é dada pelo sinal da derivada segunda. Se a derivada segunda for negativa, a concavidade da função é voltada para baixo e se for positiva a concavidade é voltada para cima.
Como a derivada segunda aponta o crescimento e decrescimento da derivada primeira, então quando a derivada segunda for negativa, a derivada primeira será decrescente e caso seja positiva, a derivara primeira será crescente.
Portando, podemos ver pelo gráfico que é crescente nos intervalos , e e é decrescente nos intervalos e , então:
possui concavidade para cima nos intervalos, e e concavidade para baixo nos intervalos e .
Passo 5
Item d:
Os pontos de inflexão são aqueles em que a derivada segunda é nula, ou seja, a concavidade muda de sinal, então:
Os pontos de inflexão são , , e .
Passo 6
Item e:
Se , o gráfico de passa pela origem, então de acordo com as informações levantadas nos itens de (a) a (d) temos o seguinte gráfico:
Resposta
(a) é crescente nos intervalos e e decrescente nos intervalos e
(b) Temos máximo local em e temos mínimo local em e .
(c) possui concavidade para cima nos intervalos, e e concavidade para baixo nos intervalos e .
(d) Os pontos de inflexão são , , e .
(e)