Enunciado

O gráfico da derivada f ' de uma função contínua f está ilustrado.

(a) Em que intervalos f está crescendo ou decrescendo?

(b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?

(c) Em que intervalos f é côncava para cima ou para baixo?

(d) Diga as coordenadas x dos pontos de inflexão.

(e) Supondo que f 0 = 0 , esboce o gráfico de f .

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui iremos analisar o gráfico da primeira derivada de uma função e a partir dai iremos fazer inferências sobre essa função.

Passo 2

Item a:

O sinal da derivada indica se função está crescendo (derivada positiva) ou decrescendo (derivada negativa). Podemos observar no gráfico que nos intervalos 1,6 e 8 , ∞ temos f ' x > 0 e nos intervalos 0,1 e 6,8 f ' x < 0 , então:

f é crescente nos intervalos 1,6 e 8 , ∞ e decrescente nos intervalos 0,1 e 6,8 .

Passo 3

Item b:

Se f ' x passa de positiva para negativa temos uma máximo local e se passa de negativo para positivo temos um mínimo local. Então, temos máximo local em x = 6 e temos mínimo local em x = 1 e x = 8 .

Passo 4

Item c:

A concavidade de uma função é dada pelo sinal da derivada segunda. Se a derivada segunda for negativa, a concavidade da função é voltada para baixo e se for positiva a concavidade é voltada para cima.

Como a derivada segunda aponta o crescimento e decrescimento da derivada primeira, então quando a derivada segunda for negativa, a derivada primeira será decrescente e caso seja positiva, a derivara primeira será crescente.

Portando, podemos ver pelo gráfico que f ' é crescente nos intervalos 0,2 , 3,5 e 7 , ∞ e f ' é decrescente nos intervalos 2,3 e 5,7 , então:

f possui concavidade para cima nos intervalos 0,2 , 3,5 e 7 , ∞ e concavidade para baixo nos intervalos 2,3 e 5,7 .

Passo 5

Item d:

Os pontos de inflexão são aqueles em que a derivada segunda é nula, ou seja, a concavidade muda de sinal, então:

Os pontos de inflexão são x = 2 , x = 3 , x = 5 e x = 7 .

Passo 6

Item e:

Se f 0 = 0 , o gráfico de f passa pela origem, então de acordo com as informações levantadas nos itens de (a) a (d) temos o seguinte gráfico:

Resposta

(a) f é crescente nos intervalos 1,6 e 8 , ∞ e decrescente nos intervalos 0,1 e 6,8

(b) Temos máximo local em x = 6 e temos mínimo local em x = 1 e x = 8 .

(c) f possui concavidade para cima nos intervalos 0,2 , 3,5 e 7 , ∞ e concavidade para baixo nos intervalos 2,3 e 5,7 .

(d) Os pontos de inflexão são x = 2 , x = 3 , x = 5 e x = 7 .

(e)

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