Encontre a diferencial da função.

y = x \* ln(x)

Passo 1

Opa, bora lá! Precisamos encontrar a diferencial da função:

y = x ln ⁡ x

Encontramos o diferencial d y de uma função y ( x ) derivando-a e multiplicando pelo diferencial d x :

d y = y ' x   d x

Os diferenciais servem para determinar qual a variação de y quando temos uma variação muito pequena de x . Então, derivando nossa função acharemos o diferencial. Podemos pensar que estamos “passando pro outro lado” d x na expressão da derivada:

d y d x = y ' ⇒ d y = y ' d x

Essa notação não está correta pois d y e d x são valores infinitesimais e não podemos fazer essa manipulação algébrica, mas quando trabalhamos com diferenciais consideramos valores pequenos de d y e d x mas não tãaaao pequenos (podemos querer fazer uma linearização, usando d x = 0,01 , por exemplo), então podemos pensar assim.

Passo 2

Derivando y em relação a x , usando a regra do produto, temos:

y = cos ⁡ π x

⇒ d y d x = x d d x ln ⁡ x + ln ⁡ x

⇒ d y d x = x ⋅ 1 x + ln ⁡ x = 1 + ln ⁡ x

Nosso diferencial é então:

d y = ( 1 + ln ⁡ x ) d x

Prontinho!

Resposta

d y = ( 1 + ln ⁡ x ) d x

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