Enunciado

O gráfico de y 2 = x ³ , mostrado na figura a seguir, é chamado de parábola semicúbica. Determine a constante b , de modo que a reta y = - 1 3 x + b intercepte esse gráfico ortogonalmente.

Passo 1

Então pessoal, para que aquela função afim intercepte a parábola ortogonalmente, o que tem que acontecer é que o resultado da multiplicação entre os coeficientes angulares das funções tem que ser - 1 , beleza? Em outras palavras:

m 1 . m 2 = - 1

Mas o que são esses coeficientes angulares? São as derivadas das funções no ponto de incidência. Sendo assim, precisaremos determinar as derivadas implícitas das funções, ok? Bora lá!

Passo 2

Para a função y 2 = x ³ , temos:

2 y . d y d x = 3 x ²

∴ d y d x = 3 x ² 2 y

Para a função y =   - 1 3 x + b , temos:

d y d x = - 1 3 + 0

∴ d y d x = - 1 3

Passo 3

Agora que achamos as derivadas, sabendo que os resultados são m 1 e m 2 , teremos:

m 1 . m 2 = - 1

3 x 2 2 y . - 1 3 = - 1 ,   y ≠ 0

Isolando as variáveis, teremos:

x ² 2 = y

Mas como nos foi dado que y 2 = x ³ , temos:

x 2 2 2 = x ³

x 4 = 4 x ³

x 4 - 4 x 3 = 0

x 3 x - 4 = 0

O que implica que as raízes são: x = 0 e x = 4 .

Passo 4

Agora que temos os possíveis pontos de interceptação ortogonal entre os gráficos, vamos testá-los! Para x = 0 , temos:

y = 0 ² 2 = 0

No entanto, assim como mostrado no passo anterior, y = 0 não está definido! Sendo assim, o ponto ( 0 ,   0 ) não é o ponto de interceptação ortogonal entre os gráficos. Testando x = 4 , temos:

y = 4 ² 2 = 8

Opa, esse ponto está definido, não é mesmo?! Sendo assim, o ponto de interceptação ortogonal entre os gráficos é 4 ,   8 . Como queremos descobrir a constante b , substituindo esses valores lá na função afim, teremos:

y = - 1 3 x + b

8 = - 1 3 . 4 + b

∴ b = 28 3

Resposta

b = 28 3

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