Enunciado

Nos Exercícios 21-26, use derivação implícita para determinar d y d x e depois d ² y d x ² .

21. x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Então pessoal, assim como manda o manual, ou seja, assim como discutido na seção 7 do George, a técnica que devemos utilizar para derivar essa função implicitamente é a seguinte:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a x , considerando y como uma função derivável de x ;

2. Agrupar os termos que possuem d y d x em um lado da equação e isolar d y d x .

Sabendo disso, já podemos tranquilamente derivar a função que nos foi pedida, beleza? Bora lá!

Passo 2

Derivando ambos os membros, assim como manda o passo 1, teremos:

2 x + 2 y d y d x = 0

Aplicando agora o passo 2, isto é, isolando a derivada, teremos:

2 y d y d x = - 2 x

∴ d y d x = - x y ,   y ≠ 0

Mas como descobrimos a derivada segunda disso? É simples, basta derivarmos novamente!

Passo 3

Para derivarmos a nova função, teremos que utilizar a regra do quociente, que nos diz o seguinte:

f g ' = f ' . g - f . g ' g ²

d ² y d x ² = - 1 . y - - x . d y d x y ²

Mas como vimos, d y d x = - x y , então substituindo, teremos:

d ² y d x ² = - y - x ² y y ²

∴ d ² y d x ² = - y 2 - x ² y ³ ,   y ≠ 0

Resposta

d ² y d x ² = - y 2 - x ² y ³ ,   y ≠ 0

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