Enunciado

Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Suponha eixos com a mesma escala.) Use então o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f ' .

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 👀

Nesse problema temos o gráfico de uma função f e nosso objetivo é obter f ' a partir de f .

Vamos utilizar o método do Exemplo 1 para fazermos isso, já que é assim, vamos dar uma olhada neste exemplo.

O Exemplo 1 nos diz que podemos estimar o valor da derivada para qualquer valor de x traçando a tangente no ponto x , f x e estimando a inclinação. Então se escolhe determinados pontos, cria-se uma reta tangente naquele ponto onde ela é a hipotenusa do triangulo retângulo necessário para calcularmos a inclinação da reta tangente.

Parece difícil? 😉

Passo 2

Usando o gráfico de   f x , podemos fazer as seguintes observações sobre o gráfico de (   f ' x ) :

Vamos supor que os dois pontos de interseção de   f x com o eixo (   x   ) sejam (   - a   ) e (   a   ) , onde (   a   ) é um número positivo.

1) À medida que você se aproxima de   x   =   - a   , as tangentes se tornam quase verticais (com inclinação muito positiva) até se tornarem verticais em (   x   =   - a   ) ("inclinação infinita"), então (   f ' x ) aumenta muito e se aproxima de (   ∞   ) conforme (   x   ) se aproxima de (   - a   ) pela direita.

2) Como há um máximo local em (   x   =   0   ) , a tangente em (   x   =   0   ) é horizontal, com inclinação 0 , e   f ' 0 =   0   .

3) Como o gráfico de   f x é contínuo e suave em todos os lugares, o gráfico de   f ' x é contínuo entre   x   =   - a   e   x   =   a   .

4)   f ' x diminui de   ∞   para 0 conforme   x   aumenta de   - a   para 0 , já que a taxa de diminuição é muito maior inicialmente e desacelera depois. O gráfico de   f ' x é côncavo para cima entre   x   =   - a   e   x   =   0   .

5) À medida que você se aproxima de   x   =   a   , as tangentes se tornam quase verticais (com inclinação muito negativa) até se tornarem verticais em   x   =   a   ("inclinação infinita negativa"), então   f ' x diminui muito e se aproxima de   - ∞   conforme   x   se aproxima de   a   pela esquerda.

6)   f ' x diminui de 0 para   - ∞   conforme   x   aumenta de 0 para   a   , já que a taxa de diminuição é mais lenta inicialmente e muito maior conforme   x   se aproxima de   a   . O gráfico de (   f ' x ) é côncavo para baixo entre (   x   =   0   ) e (   x   =   a   ) .

7) Como a concavidade muda em   x   =   0   enquanto   f ' x é contínua, este é um ponto de inflexão para   y   =   f ' x .

O gráfico de   f ' x é mostrado abaixo em cor preta sólida.

E aí! o que achou? Responde Aí! 👀

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 1 + x + 1 2 ,- 2 ≤ x5
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 1 - x
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2 ,- 3 ≤ x ≤ 2
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2 ,0 ≤ x ≤ 2
A figura mostra os gráficos de f ,f ' ,f ' ' ef ' ' ' . Identifique cada curva e explique suas escolhas.