Enunciado

Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação

5 2 )   x y 2 + 3 y 2 - 9 x = 0

Passo 1

Vamos escrever isso como y x antes de mais nada, belezinha? Saca só:

x y 2 + 3 y 2 - 9 x = 0

y 2 x + 3 - 9 x = 0

y 2 x + 3 = 9 x

y 2 = 9 x x + 3

y x = ± 9 x x + 3

Passo 2

Bora achar as assíntotas horizontais. Precisamos pra isso fazer os limites pros infinito, beleza?

lim x → ± ∞ ⁡ ± 9 x x + 3 = lim x → ± ∞ ⁡ ± x 9 x 1 + 3 x = lim x → ± ∞ ⁡ ± 9 1 + 3 x

Vamos ter então

lim x → ± ∞ ⁡ ± 9 1 + 3 x = ± 9 1 + 0 = ± 9 = ± 3

Limites deram números? Então maravilha, temos assíntotas horizontais!

Passo 3

Pras verticais, fazemos os limites pro ponto que “dá problema”. Como:

y x = ± 9 x x + 3

Se analisarmos bem vamos ver que x = 0 e x = - 3 são os pontos pra se analisar. Afinal o primeiro zera a raiz e o segundo o denominador. Analisando sinal:

Pra raiz não ficar negativa basta a gente fazer os seguintes limites laterais:

lim x → - 3 - ⁡ ± 9 x x + 3 = ± - 27 0 - = ± + ∞ = ± ∞

lim x → 0 + ⁡ ± 9 x x + 3 = ± 0 = 0

Nesse caso só x = - 3 é assíntota vertical pois foi o único que explodiu

Passo 4

Juntando os resultados dos limites, esboçamos:

lim x → ± ∞ ⁡ ± 9 1 + 3 x = ± 3

lim x → - 3 - ⁡ ± 9 x x + 3 = ± ∞

Resposta

lim x → ± ∞ ⁡ ± 9 1 + 3 x = ± 3

lim x → - 3 - ⁡ ± 9 x x + 3 = ± ∞

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