Enunciado

14. Um grosso cabo, com 60   p é s de comprimento e pesando 180   l b s . Suspenso por um guincho e um guindaste. Calcule de dois modos diferentes o trabalho feito se o guincho enrola 25   p é s do cabo.

(a) Siga o método do exemplo 4 .

(b) Escreva uma função para o peso do cabo remanescente depois que x pés tenham sido enrolados pelo gancho. Estime o aumento do trabalho feito quando o guincho puxa para cima ∆ x   p é s do cabo.

Passo 1

Iremos admitir que o ponto onde o cabo é suspenso tem coordenada 0 e o ponto mais baixo tem ordenada   60   p é s . Iremos usar essas duas informações nas letras (a) e (b). E calcularemos aqui, o valor do peso por cada pé do cabo, seria a densidade linear do fio:

180   l b s 60   p é s = 3   l b s / p é s

Passo 2

Procederemos como no exemplo 4 , então calcularemos a força x distância de um pequeno elemento do fio ( ∆ x ):

3 ∆ x × x

Se pensarmos em todos os elementos e o tamanho do elemento do fio ∆ x tendendo a zero, pois assim pegaremos o menor elementinho, teremos, lembrando que o cabo só enrolado de 25   p é s .

W = lim n → ∞ ⁡ ∑ i - 1 n 3 x ∆ x = ∫ 0 25 3 x d x = 3 x 2 2 25 0 = 3 625 2 = 937,5   p é s - l b s

No final passaremos tudo para joule, por enquanto vamos nos preocupar com o cálculo apenas.

Passo 3

Agora faremos pelo método (b).

Se o guincho puxou x pés do cabo, então sobraram 60 - x do mesmo cabo, pois o cabo tem 60   p é s .

O peso do cabo remanescente será, lembra que 3   l b s / p é s é o peso por pés hein!!

P = 3 ( 60 - x )

E o trabalho a mais seria:

w = 3 ( 60 - x ) ∆ x

Então para calcularmos todo o trabalho, teríamos que fazer de a integral da função acima e sabendo que, e os limites de integração mudam, pois iremos puxar o cabo e deixaremos apenas 35   p é s de 60   p é s . Então esses serão os limites de integração!

W = ∫ 35 60 3 ( 60 - x ) d x = 3 ∫ 35 60 ( 60 - x ) d x = 3 ( 60 x - x 2 2 ) 60 35 = 3 ( 1500 - 1.187,5 ) = 3 ( 312,5 ) = 937,5   p é s   –   l b s

Olhaaaa! Os dois trabalhos deram iguais! Ou temos muita sorte, ou estamos certo! E estamos certo!

Vamos apenas passar o trabalho para joule, 1   p é s - l b s = 1,35   J o u l e .

Entãoo,

937,5   p é s   –   l b s = 1.265,6   J

Resposta

(a)

W = 937,5   p é s - l b s = 1.265,6   J

(b)

W = 937,5   p é s - l b s = 1.265,6   J

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