j)   ∫ x 2 + 3 x d x

Passo 1

Chamando nossa integral de I , temos:

I =   ∫ x 2 + 3 x d x

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1   e ∫ d u u = ln ⁡ | u | + c

Passo 2

Resolvendo!

I =     ∫ x 2 + 3 x d x = ∫ x 2   d x + 3 ⋅ ∫ d x x =   x 2 + 1 ( 2 + 1 ) + 3 ⋅ ln ⁡ | x | + c

Repare que podemos juntar as duas constantes em uma só até porque é um valor constante!!

Assim,

I = x 3 3 + 3 ⋅ ln ⁡ | x | + c

Não esquece: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Passo 3

Verificando!

I = x 3 3 + 3 ⋅ ln ⁡ | x | + c

Derivando para verificar,

I ' = x 3 3 + 3 ⋅ ln ⁡ | x | + c ' = 3 ⋅ x 3 - 1 3 + 3 ⋅ 1 x + 0 = x 2 + 3 x

Como a derivada deu igual que queremos integrar, então acertamos!!

Resposta

x 3 3 + 3 ⋅ ln ⁡ | x | + c

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