16) ∫ 1 x 2 - x - 2 d x

Passo 1

I = ∫ 1 x 2 - x - 2 d x

Analisando a integral, podemos pensar em dividir em frações parciais, mas antes temos que fatorar o denominador.

Como as raízes do polinômio x 2 - x - 2 são x = 2   e x = - 1 , temos:

x 2 - x - 2 = ( x - 2 ) ( x + 1 )

Passo 2

Nossa integral era assim:

I = ∫ 1 x 2 - x - 2 d x

E vai ficar assim:

I = ∫ 1 x - 2 x + 1 d x

Dividindo em frações parciais, temos:

1 x - 2 x + 1 = A x - 2 + B x + 1

Deixando os denominadores iguais:

1 x - 2 x + 1 = A ⋅ x + 1 + B ⋅ ( x - 2 ) x - 2 x + 1

Fazendo a distributiva:

1 x - 2 x + 1 = A + B x + ( A - 2 B ) x - 2 x + 1

Agora é só comparar os coeficientes do numerador:

  0 ⋅ x + 1 = A + B x + ( A - 2 B )

A + B = 0       ( i ) A - 2 B = 1       ( i i )

De ( i ) :

A = - B

Substituindo em ( i i ) :

- 3 B = 1

A = 1 3 e     B = - 1 3

Não esquece: ∫ 1 u d u = ln ⁡ u + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = ∫ 1 3 x - 2   d x + ∫ - 1 3 x + 1 d x = 1 3 ⋅ ∫ d x x - 2 - 1 3 ⋅ ∫ d x x + 1

Portanto,

I = 1 3 ⋅ ln ⁡ x - 2 - 1 3 ⋅ ln ⁡ x + 1 + c

Resposta

1 3 ⋅ ln ⁡ x - 2 - 1 3 ⋅ ln ⁡ x + 1 + c

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