Calcule a derivada.

f(x) = ln(cos(raiz(x)) / (1 + sen(raiz(x))))

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Temos que g x é a função mais de dentro e f x a função mais de fora:

u = g x = cos ⁡ x 1 + sen ⁡ x

f u = ln ⁡ u

Assim temos então que:

y ' = f ' g x ⋅ g ' x = ln ⁡ u ' ⋅ cos ⁡ x 1 + sen ⁡ x '

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função constante, do polinômio, da função trigonométrica e da divisão, além da regra da cadeia:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Passo 3

Primeiro vamos calcular f ' g x :

f ' g x = ln ⁡ u ' = 1 u ⋅ u ' = 1 u ⋅ u 1 - 1 = 1 u ⋅ u 0 = 1 u ⋅ 1 = 1 u

Agora para g ' x :

g ' x = cos ⁡ x 1 + sen ⁡ x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = cos ⁡ x ' 1 + sen ⁡ x - cos ⁡ x 1 + sen ⁡ x ' 1 + sen ⁡ x 2 = - sen ⁡ x x ' 1 + sen ⁡ x - cos ⁡ x 0 + cos ⁡ x x ' 1 + sen ⁡ x 2

A derivada de x é:

x ' = x 1 2 ' = 1 2 x 1 2 - 1 = 1 2 x - 1 2 = 1 2 x

Substituindo:

g ' x = - sen ⁡ x x ' 1 + sen ⁡ x - cos ⁡ x 0 + cos ⁡ x x ' 1 + sen ⁡ x 2 = - sen ⁡ x 1 2 x 1 + sen ⁡ x - cos ⁡ x cos ⁡ x 1 2 x 1 + sen ⁡ x 2 = - sen ⁡ x 2 x 1 + sen ⁡ x - cos 2 ⁡ x 2 x 1 + sen ⁡ x 2 = - sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x - cos 2 ⁡ x 2 x 1 + sen ⁡ x 2 = - sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x - cos 2 ⁡ x 2 x ⋅ 1 1 + sen ⁡ x 2 = - sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x - cos 2 ⁡ x 2 x 1 + sen ⁡ x 2

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

f ' x = ln ⁡ u ' ⋅ cos ⁡ x 1 + sen ⁡ x ' = 1 u ⋅ - sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x - cos 2 ⁡ x 2 x 1 + sen ⁡ x 2

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

f ' x = 1 u ⋅ - sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x - cos 2 ⁡ x 2 x 1 + sen ⁡ x 2 = 1 cos ⁡ x 1 + sen ⁡ x ⋅ - sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x - cos 2 ⁡ x 2 x 1 + sen ⁡ x 2 = 1 + sen ⁡ x cos ⁡ x ⋅ - sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x - cos 2 ⁡ x 2 x 1 + sen ⁡ x 2 = 1 cos ⁡ x ⋅ - sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x - cos 2 ⁡ x 2 x 1 + sen ⁡ x = - sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x - cos 2 ⁡ x 2 x cos ⁡ x 1 + sen ⁡ x

Resposta

f ' x = - sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x - cos 2 ⁡ x 2 x cos ⁡ x 1 + sen ⁡ x

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