Enunciado

Calcule a derivada.

f (x) = ln (cos sqrt(x))/(1 + sen sqrt(x))

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Temos que g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora:

u = g (x) = (cos sqrt(x))/(1 + sen sqrt(x))

f (u) = ln u

Assim temos então que:

y^' = f^' (g (x)) * g^' (x) = (ln u)^' * ((cos sqrt(x))/(1 + sen sqrt(x)))^'

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função constante, do polinômio, da função trigonométrica e da divisão, além da regra da cadeia:

(c)^' = 0

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(sen (x))^' = cos (x)

(cos (x))^' = - sen (x)

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Passo 3

Primeiro vamos calcular f^' (g (x)) :

f^' (g (x)) = (ln u)^' = (1)/(u) * (u)^' = (1)/(u) * u^(1 - 1) = (1)/(u) * u^0 = (1)/(u) * 1 = (1)/(u)

Agora para g^' (x) :

g^' (x) = ((cos sqrt(x))/(1 + sen sqrt(x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((cos sqrt(x))^' (1 + sen sqrt(x)) - (cos sqrt(x)) (1 + sen sqrt(x))^')/([1 + sen sqrt(x)]^2) = ((- sen sqrt(x)) (sqrt(x))^' (1 + sen sqrt(x)) - (cos sqrt(x)) (0 + cos sqrt(x) (sqrt(x))^'))/((1 + sen sqrt(x))^2)

A derivada de sqrt(x) é:

(sqrt(x))^' = (x^((1)/(2)))^' = (1)/(2) x^((1)/(2) - 1) = (1)/(2) x^(- (1)/(2)) = (1)/(2 sqrt(x))

Substituindo:

g^' (x) = ((- sen sqrt(x)) (sqrt(x))^' (1 + sen sqrt(x)) - (cos sqrt(x)) (0 + cos sqrt(x) (sqrt(x))^'))/((1 + sen sqrt(x))^2) = ((- sen sqrt(x)) (1)/(2 sqrt(x)) (1 + sen sqrt(x)) - (cos sqrt(x)) (cos sqrt(x) (1)/(2 sqrt(x))))/((1 + sen sqrt(x))^2) = ((- sen sqrt(x))/(2 sqrt(x)) (1 + sen sqrt(x)) - (cos^2 sqrt(x))/(2 sqrt(x)))/((1 + sen sqrt(x))^2) = ((- sen sqrt(x) (1 + sen sqrt(x)) - cos^2 sqrt(x))/(2 sqrt(x)))/((1 + sen sqrt(x))^2) = (- sen sqrt(x) (1 + sen sqrt(x)) - cos^2 sqrt(x))/(2 sqrt(x)) * ((1)/((1 + sen sqrt(x))^2)) = (- sen sqrt(x) (1 + sen sqrt(x)) - cos^2 sqrt(x))/(2 sqrt(x) (1 + sen sqrt(x))^2)

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

f^' (x) = (ln u)^' * ((cos sqrt(x))/(1 + sen sqrt(x)))^' = (1)/(u) * ((- sen sqrt(x) (1 + sen sqrt(x)) - cos^2 sqrt(x))/(2 sqrt(x) (1 + sen sqrt(x))^2))

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

f^' (x) = (1)/(u) * ((- sen sqrt(x) (1 + sen sqrt(x)) - cos^2 sqrt(x))/(2 sqrt(x) (1 + sen sqrt(x))^2)) = (1)/((cos sqrt(x))/(1 + sen sqrt(x))) * ((- sen sqrt(x) (1 + sen sqrt(x)) - cos^2 sqrt(x))/(2 sqrt(x) (1 + sen sqrt(x))^2)) = (1 + sen sqrt(x))/(cos sqrt(x)) * ((- sen sqrt(x) (1 + sen sqrt(x)) - cos^2 sqrt(x))/(2 sqrt(x) (1 + sen sqrt(x))^2)) = (1)/(cos sqrt(x)) * ((- sen sqrt(x) (1 + sen sqrt(x)) - cos^2 sqrt(x))/(2 sqrt(x) (1 + sen sqrt(x)))) = (- sen sqrt(x) (1 + sen sqrt(x)) - cos^2 sqrt(x))/(2 sqrt(x) cos sqrt(x) (1 + sen sqrt(x)))

Resposta

f^' (x) = (- sen sqrt(x) (1 + sen sqrt(x)) - cos^2 sqrt(x))/(2 sqrt(x) cos sqrt(x) (1 + sen sqrt(x)))

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