Enunciado

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região x 2 + 4 y 2 ≤ 1 , em torno da reta y = 1 .

Passo 1

Para resolver este problema, vamos usar o Teorema de Pappus para o volume. A gente vai usar essa fórmula aqui:

V = 2 π r - A

Onde:

O r   ̅ é a distância do centróide da figura até o eixo em torno do qual a figura gira.

A é a área da região que vai gerar o sólido, neste caso

Vamos olhar o gráfico gerado para poder identificar r -

Como podemos ver, temos uma elipse de R a = 1   e   R b = 0,5 e a distância do centroide para o eixo r - = 1

Passo 2

Agora é só aplicar na fórmula da área do círculo e substituir no teorema

A = π R a R b

A = 1 2 π

V = 2 π . 1 2 π V = π 2

Resposta

V = π 2

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