g) ∫ c o s x ⋅ c o s 2 x ⋅ c o s ( 3 x ) d x

Passo 1

Essa questão é casca grossa, então vamos com calma! A estratégia é a seguinte:

Lá da trigonometria, temos:

c o s a ⋅ c o s b = 1 2 ⋅ c o s a + b + c o s a - b

Tá com medo de esquecer? É só fazer assim ó:

c o s a - b = c o s a ⋅ cos ⁡ b + s e n a ⋅ sen ⁡ b

c o s a + b = c o s a ⋅ cos ⁡ b - s e n a ⋅ sen ⁡ b

Somando as duas:

c o s a - b + c o s a + b = 2 ⋅ c o s a ⋅ cos ⁡ b

Logo,

c o s a ⋅ c o s b = 1 2 ⋅ c o s a - b + c o s a + b

Passo 2

A estratégia vai ser utilizar essa formula de transformar produto em soma duas vezes já que temos o produto de três funções trigonométricas 😉

Com os dois primeiros termos, temos:

c o s x ⋅ c o s 2 x = 1 2 ⋅ cos ⁡ - x + cos ⁡ 3 x

Agora vamos pegar o terceiro termo:

E = c o s x ⋅ c o s 2 x ⋅ c o s ( 3 x ) = 1 2 ⋅ cos ⁡ - x + cos ⁡ 3 x ⋅ c o s ( 3 x )

Arrumando as coisas, temos:

E = 1 2 ⋅ c o s 3 x ⋅ c o s ⁡ - x + c o s 3 x ⋅ c o s ⁡ ( 3 x )

Utilizando novamente na expressão E :

E = 1 2 ⋅ 1 2 ⋅ c o s 2 x + c o s 4 x + 1 2 ⋅ c o s 6 x + c o s 0

Arrumando a casa:

E = 1 4 ⋅ c o s 2 x + c o s 4 x + c o s 6 x + 1  

Não esquece: ∫ c o s x   d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = ∫ c o s x ⋅ c o s 2 x ⋅ c o s ( 3 x ) d x = ∫ 1 4 ⋅ c o s 2 x + c o s 4 x + c o s 6 x + 1   d x

Resolvendo, temos:

I = 1 4 ⋅ sen ⁡ 2 x 2 + sen ⁡ 4 x 4 + sen ⁡ 6 x 6 + x + c

Logo,

I = sen ⁡ 2 x 8 + sen ⁡ 4 x 16 + sen ⁡ 6 x 24 + x 4 + c

Resposta

sen ⁡ 2 x 8 + sen ⁡ 4 x 16 + sen ⁡ 6 x 24 + x 4 + c

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