Resolva a inequação.

(x^2 - 4) / (x^2 + 4) > 0

Passo 1

Vamos lá, primeiro vamos tentar manipular um pouco a expressão do numerador, vemos que dá pra usar produtos notáveis para destrinchar um pouco, vamo fazer isso então:

Vamos lembrar desse produto notável:

a 2 - b 2 = a + b a - b

Pronto, se encaixa direitinho na expressão, vamos aplicar então:

x 2 - 4 = x 2 - 2 2 = x + 2 x - 2

Pronto, substituindo temos:

x 2 - 4 x 2 + 4 > 0 ↔ x + 2 x - 2 x 2 + 4 > 0

Passo 2

Para estudar o sinal da expressão vamos analisar as três expressões separadamente:

Para x + 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - 2 e assume valores positivos quando x > - 2 .

Para x - 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < 2 e assume valores positivos quando x > 2 .

Para x 2 + 4 temos:

A expressão não assume valores negativos e assume valores positivos para qualquer x .

Passo 3

Vamos analisar agora a situação pedida através das três imagens que achamos no passo anterior:

Temos que x + 2 x - 2 x 2 + 4 > 0 quando as duas expressões forem negativas e a outra positiva ou quando todas forem positivas, analisando as três imagens vemos que isso acontece quando:

x < - 2 ou x > 2

Resposta

x 2 - 4 x 2 + 4 > 0 para x < - 2 ou x > 2

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