i) ∫ t g 6 x d x

Passo 1

I = ∫ t g 6 x d x

Quando quisermos integrar algo que tenha tg n ⁡ ( x ) com n par, pode ser uma boa ideia usar essa relação trigonométrica ó:

1 + t g 2 x = sec 2 ⁡ ( x )

Então vamos usar essa ideia!!

I = ∫ t g 6 ⁡ x d x = ∫ t g 4 x ⋅ t g 2 x d x = ∫ t g 4   x ⋅ ( sec 2 ⁡ x - 1 ) d x

Isto é:

I = ∫ t g 4 x sec 2 ⁡ x   d x - ∫ t g 4 x   d x   ( i )

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Viu que agora queremos integrar t g 4 x ?! Expoente par, então mesma ideia!!

I 2 = ∫ t g 4 ⁡ x d x = ∫ t g 2 x ⋅ t g 2 x d x = ∫ t g 2   x ⋅ ( sec 2 ⁡ x - 1 ) d x

I 2 = ∫ t g 2 x sec 2 ⁡ x   d x - ∫ t g 2 x   d x   ( i i )

De novo? Não acredito!! Agora é com t g 2 x ?! Expoente par, então mesma ideia!!

I 3 = ∫ t g 2 ⁡ x d x = ∫ ( sec 2 ⁡ x - 1 ) d x = ∫ sec 2 ⁡ x d x - ∫ d x   ( i i i )

Agora vamos juntar as coisas para não nos perdermos!

I = ∫ t g 4 x sec 2 ⁡ x   d x - I 2

I 2 = ∫ t g 2 x sec 2 ⁡ x   d x - I 3

I 3 = ∫ sec 2 ⁡ x d x - ∫ d x

Logo,

I 2 = ∫ t g 2 x sec 2 ⁡ x   d x - I 3

I 2 = ∫ t g 2 x sec 2 ⁡ x   d x - ∫ sec 2 ⁡ x d x + ∫ d x

E por fim:

I = ∫ t g 4 x sec 2 ⁡ x   d x - I 2

I = ∫ t g 4 x sec 2 ⁡ x   d x - ∫ t g 2 x sec 2 ⁡ x   d x + ∫ sec 2 ⁡ x d x - ∫ d x

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = ∫ t g 4 x sec 2 ⁡ x   d x - ∫ t g 2 x sec 2 ⁡ x   d x + ∫ sec 2 ⁡ x d x - ∫ d x

Fazendo uma substituição de variável:

u = t g ( x )

Derivando:

d u = sec 2 ⁡ x d x

Então nossa integral fica assim ó:

I = ∫ u 4 d u - ∫ u 2 d u + ∫ d u - ∫ d x

Não vamos trocar o último pois ele é bem simples!

I = u 5 5 - u 3 3 + u - x + c

Voltando para t g ( x ) :

I = t g 5 x 5 - t g 3 x 3 + t g x - x + c

Resposta

t g 5 x 5 - t g 3 x 3 + t g x - x + c

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