∫ d x x - x 2 + x + 2  

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

- x 2 + x + 2 = 9 4 - x - 1 2 2    

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

s e n 2 θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

Seja

x - 1 2 = 3 2 s e n θ ,   θ   ϵ   [ - π 2 , π 2 ]

Derivando com relação a x a equação acima

d x - 1 2 d x = d ( 3 2 s e n θ ) d x ⟹ 3 2 cos θ ⁡ d θ d x = 1 ⟹ 3 2 cos θ ⁡ d θ = d x

Substituindo na nossa integral

∫ d x x - x 2 + x + 2   =   ∫ d x ( x ) 9 4 - x - 1 2 2       = ∫ 3 2 cosθ ⁡ d θ ( 3 2 s e n θ + 1 2 ) 9 4 - 3 2 s e n θ 2       =

= ∫ 3 2 cosθ ⁡ d θ ( 3 2 s e n θ + 1 2 ) 9 4 - 3 2 s e n θ 2       = = ∫ 2 d θ 3 s e n θ + 1 = ∫ 2 d θ 3 2 t g ( θ 2 )   1 + t g 2 θ 2 + 1

Seja

t g θ 2   = t

Derivando em relação a θ

d t g θ 2 d θ   = d t d θ = 1 2 sec 2 ⁡ θ 2 = 1 2 1 + t 2 ⇒ d θ = 2 d t 1 + t 2

Substituindo novamente na nossa integral e depois fazendo t = t g ( θ 2 )  

= 2 ∫ d θ 3 2 t g ( θ 2 )   1 + t g 2 θ 2 + 1 =   2 ∫ 1 + t 2 6 t + 1 + t 2 2 d t 1 + t 2 = 4 ∫ 1 6 t + 1 + t 2 d t =

= 4 ∫ 1 6 t + 1 + t 2 d t = 4 ∫ 1 t + 3 2 - 8 d t  

Seja t + 3 = w   ⟹ d w = d t

4 ∫ 1 w 2 - 8 d w = - 1 2 ∫ 1 1 - w 2 8 d w  

Seja v = w 2 2 ⟹ d v = 1 2 2 d w

- 1 2 ∫ 1 1 - w 2 8 d w =   - 2 ∫ 1 1 - v 2 d v   =   - 2 a r c t g h v

Passo 3

Retornando para nossa variável inicial

- 2 a r c t g h v =   - 2 a r c t g h w 2 2 =   - 2 a r c t g h t + 3 2 2 = - 2 a r c t g h t g θ 2 + 3 2 2  

Mas seja x - 1 2 = u ,   entao s e n θ = 2 u 3 , cos 2 ⁡ θ 2 = 1 2 ( c o s θ + 1 )

t g θ 2 = 1 2 s e n θ cos 2 ⁡ θ 2 = 1 2 2 u 3 1 2 1 - 4 9 u 2 - 1 = 2 u 9 - 4 u 2 + 3

- 2 a r c t g h 2 u 9 - 4 u 2 + 3 + 3 2 2 = - 2 a r c t g h 3 9 - 4 u 2 + 2 u + 9 2 2 ( 9 - 4 u 2 + 3 ) =

= - 2 a r c t g h 3 - x 2 + x + 2 + x + 4 2 ( 2 - x 2 + x + 2 + 3 ) =

= ln ⁡ x - l n ⁡ ( 2 2   - x 2 + x + 2 + x + 4 ) 2

Resposta

∫ d x x - x 2 + x + 2   = ln ⁡ x - l n ⁡ ( 2 2   - x 2 + x + 2 + x + 4 ) 2 + C

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