e) ∫ c o t g n x c o s s e c ( x ) d x = - c o t g n + 1 x n + 1 + c

Passo 1

∫ c o t g n x ⋅ c o s s e c ( x ) d x = - c o t g n + 1 x n + 1 + c

Para verificarmos que a expressão acima é verdadeira, basta derivamos o resultado da nossa integral e derivarmos, se for igual ao que queremos integrar, então é verdade!

Passo 2

Agora vamos verificar!

Nesse momento, é importante não esquecer da regra da cadeia.

I = - c o t g n + 1 x n + 1 + c = - 1 n + 1 ⋅ cos n + 1 ⁡ x s e n n + 1 x + c

Lembrete: u v ' = u ' ⋅ v - u ⋅ v ' v 2

Derivando:

I ' = - 1 n + 1 ⋅ ( n + 1 cos n ⁡ x - s e n x ⋅ s e n n + 1 x - cos n + 1 ⁡ x ⋅ n + 1 s e n n x c o s ⁡ ( x ) s e n 2 ( n + 1 ) x

Simplificando o fator ( n + 1 ) :

I ' = - ⋅ ( - cos n ⁡ x s e n x ⋅ s e n n + 1 x - cos n + 1 ⁡ x ⋅ s e n n x c o s ⁡ ( x ) ) s e n 2 ( n + 1 ) x

Simplificando o fator s e n n ( x ) e o - 1 :

I ' = cos n ⁡ x ⋅ s e n 2 x + cos n + 1 ⁡ x ⋅ c o s ⁡ ( x ) s e n n + 2 x  

Passo 3

Portanto, temos:

I ' = cos n ⁡ x ⋅ s e n 2 x + cos n + 1 ⁡ x ⋅ cos ⁡ x s e n n + 2 x = cos n ⁡ x s e n n x ⋅ ( s e n 2 x + cos 2 ⁡ ( x ) )

Mas,

s e n 2 x + cos 2 ⁡ ( x ) ) = 1

Logo,

I ' = cos n ⁡ x s e n n x = c o t g n ( x )

Como I ' deu igual ao que queremos integra, então a expressão é verdadeira!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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