Enunciado

Prove que f (x) = (1)/(x) é contínua em todo p != 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente provar que a função f (x) = (1)/(x) é contínua para todos os pontos p != 0 , usando a definição de continuidade.

Para provar que f é contínua em um ponto p genérico temos que mostrar que para um ϵ > 0 existe um intervalo aberto I que contenha um dado p , de modo que:

x in I => f (p) - ϵ < f (x) < f (p) + ϵ

Isso significa que se pegarmos um x que pertença a um intervalo I que é a “vizinhança” de p , o valor da função nesse x deve estar no máximo a um ϵ de distância de f (p) .

Vamos lá!

Passo 2

Resolvendo a inequação:

f (p) - ϵ < f (x) < f (p) + ϵ

Substituindo f (p) = (1)/(p) , temos:

(1)/(p) - ϵ < (1)/(x) < (1)/(p) + ϵ

Tirando o m.m.c.:

(1 - ϵ p)/(p) < (1)/(x) < (1 + ϵ p)/(p)

Agora vamos inverter as frações, sem esquecer que para invertermos todos os termos (trocar o numerador pelo denominador e vice-versa), devemos trocar o sentido das desigualdades. Assim, temos:

(p)/(1 + ϵ p) > x > (p)/(1 - ϵ p)

Passo 3

Não existe divisão por zero, então, devemos analisar a continuidade para todo x != 0 pegando sempre um ponto p != 0 . Assim, devemos analisar f para valores de p positivos e negativos separadamente e teremos:

1º Caso: Para p > 0 (positivo):

(p)/(1 + ϵ p) < x < (p)/(1 - ϵ p)

Mas se 1 - ϵ p for negativo, então f (x) estará restringindo a um intervalo com números negativos. Como estamos estudando (1)/(x) para p > 0 , o valor de f (x) estará em um intervalo que contém apenas números positivos. Portanto:

1 - ϵ p > 0

1 > ϵ p

ϵ < (1)/(p)

Então, podemos definir nosso intervalo I como:

I = ((p)/(1 + ϵ p) , (p)/(1 - ϵ p))

Assim:

x in I => f (p) - ϵ < f (x) < f (p) + ϵ

Logo, f é contínua em p > 0 .

Passo 4

2º Caso: Para p < 0 (negativo):

Para qualquer p negativo f ( p ) será negativo, então o maior valor da vizinhança de f será negativo.

(1 - ϵ p)/(p) < f (x) = (1)/(x) < (1 + ϵ p)/(p)

E sabendo que p já é negativo, temos que:

1 + ϵ p > 0

1 > - ϵ p

- 1 < ϵ p -> - (1)/(p) > ϵ

ϵ < - (1)/(p)

O valor de ϵ tem que ser maior que zero e como p é negativo, - (1)/(p) é positivo, então podemos afirmar que: ϵ < - (1)/(p)

Resolvendo a inequação temos:

(1 - ϵ p)/(p) < f (x) = (1)/(x) < (1 + ϵ p)/(p)

(p)/(1 + ϵ p) < x < (p)/(1 - ϵ p)

Então, podemos definir nosso intervalo I como:

I = ((p)/(1 + ϵ p) , (p)/(1 - ϵ p))

Assim:

x in I => f (p) - ϵ < f (x) < f (p) + ϵ

Logo, f é contínua em p < 0 .

Portanto, provamos que f é contínua em todo p != 0 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o n o s p a s s o s

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Mostre que f é contínua em ( - oo , oo )
Suponha que f e g são funções contínuas tal que g 2 = 6 e lim x → 2 ⁡ 3 f x + f x g x = 36 . Encontre f ( 2 ) .
Use a continuidade para avaliar o limite. lim x → 4 ⁡ 3 x 2 - 2 x - 4
Encontre os valores para os quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua pela direita, pela esquerda ou nenhum dos dois casos? Desenho o gráfico de f .
Encontre os valores para os quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua pela direita, pela esquerda ou nenhum dos dois casos? Desenho o gráfico de f .