Enunciado

f é diferenciável em (0 , 0) ? Justifique.

f (x , y) = (x^2 y)/(x^2 + y^2) s e (x , y) != (0 , 0) e f (0 , 0) = 0

Passo 1

O problema forneceu pra gente a função

f (x , y) = {[[(x^2 y)/(x^2 + y^2) , s e (x , y) != (0 , 0)],[0 , s e (x , y) = (0 , 0)]])

No exercício 2 da seção 9.2 deste livro, vimos que essa função é contínua em (0 , 0) . Na verdade não era exatamente essa função (o numerador era x y^2 ), mas a ideia é exatamente a mesma. Agora temos que verificar se essa função é diferenciável em (0 , 0) . Para isso, temos que calcular o “limitão”:

L = underset((h , k) -> (0 , 0))(lim) (E (h , k))/(sqrt(h^2 + k^2)) ,

onde

E (h , k) = f (0 + h , 0 + k) - f (0 , 0) - (del f)/(del x) (0 , 0) h - (del f)/(del y) (0 , 0) k

Se esse limite for zero, significa que a função é derivável nesse ponto.

Passo 2

Para fazer essa conta, vamos precisar das derivadas parciais. Mas note que devemos calcular a derivada no ponto (0 , 0) que é um ponto de colagem da função. Pontos de colagem são esses pontos que definimos a função à parte.

Assim, não podemos usar as regras de derivação nesse ponto e temos que recorrer à definição de derivada parcial:

(del f)/(del x) (x_0 , y_0) = underset(t -> 0)(lim) (f (x_0 + t , y_0) - f (x_0 , y_0))/(t)

(del f)/(del y) (x_0 , y_0) = underset(t -> 0)(lim) (f (x_0 , y_0 + t) - f (x_0 , y_0))/(t)

Como estamos interessados no aque acontece no ponto (x_0 , y_0) = (0 , 0) :

(del f)/(del x) (0 , 0) = underset(t -> 0)(lim) (f (t , 0) - f (0 , 0))/(t)

(del f)/(del y) (0 , 0) = underset(t -> 0)(lim) (f (0 , t) - f (0 , 0))/(t)

Mas note que

f (t , 0) = (t^2 * 0)/(t^2 + 0^2) = (0)/(t^2) = 0 e f (0 , t) = (0^2 * t)/(0^2 + t^2) = (0)/(t^2) = 0

Além disso, pela definição da função f (0 , 0) = 0 . Assim,

(del f)/(del x) (0 , 0) = underset(t -> 0)(lim) (f (t , 0) - f (0 , 0))/(t) = underset(t -> 0)(lim) (0)/(t) = 0

(del f)/(del y) (0 , 0) = underset(t -> 0)(lim) (f (0 , t) - f (0 , 0))/(t) = underset(t -> 0)(lim) (0)/(t) = 0

Portanto, as derivadas parciais são nulas em (0 , 0) .

Passo 3

Agora podemos voltar ao limitão:

E (h , k) = f (h , k) - f (0 , 0) - (del f)/(del x) (0 , 0) h - (del f)/(del y) (0 , 0) k = (h^2 k)/(h^2 + k^2) - 0 - 0 * h - 0 * k

Logo,

E (h , k) = (h^2 k)/(h^2 + k^2)

Desta forma, o limitão fica

L = underset((h , k) -> (0 , 0))(lim) (E (h , k))/(sqrt(h^2 + k^2)) = underset((h , k) -> (0 , 0))(lim) (h^2)/(h^2 + k^2) * (k)/(sqrt(h^2 + k^2))

Para calcular esse limite, vamos escolher alguns caminhos específicos que passem pelo ponto (h , k) = (0 , 0) . Primeiro vamos escolher o caminho h = 0 :

underset(k -> 0)(lim) (0^2)/(0^2 + k^2) * (k)/(sqrt(0^2 + k^2)) = underset(k -> 0)(lim) 0 = 0

Vamos escolher agora um outro caminho com h = k :

underset(k -> 0)(lim) (k^2)/(k^2 + k^2) * (k)/(sqrt(k^2 + k^2)) = underset(k -> 0)(lim) (k^2)/(2 k^2) * (k)/(|k| sqrt(2)) = +- (1)/(2 sqrt(2))

O sinal +- aparece pois sqrt(k^2) = |k| e quando tomamos os limites laterais k -> 0^+ e k -> 0^- , vamos obter sinais diferentes na resposta. Mas isso não é tão importante, pois de qualquer forma, por esse caminho o limite dá um valor diferente do que pelo primeiro caminho.

Com isso, vemos que o limitão não existe, pois por caminhos diferentes ela dá valores diferentes. Como o limitão não existe, a função não é diferenciável em (0 , 0) .

Resposta

Não é diferenciável.

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