f é diferenciável em (0, 0) ? Justifique.

f(x, y) = (x^2 \* y) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) e f(0, 0) = 0

Passo 1

O problema forneceu pra gente a função

f x ,   y = x 2 y x 2 + y 2 ,         s e     x ,   y ≠ 0 ,   0 0 ,           s e   x ,   y = 0 ,   0

No exercício 2 da seção 9.2 deste livro, vimos que essa função é contínua em 0 ,   0 . Na verdade não era exatamente essa função (o numerador era x y 2 ), mas a ideia é exatamente a mesma. Agora temos que verificar se essa função é diferenciável em 0 ,   0 . Para isso, temos que calcular o “limitão”:

L = lim h ,  k → 0 ,   0 ⁡ E h ,   k h 2 + k 2 ,

onde

E h ,   k = f 0 + h ,   0 + k - f 0 ,   0 - ∂ f ∂ x 0 ,   0   h - ∂ f ∂ y 0 ,   0   k

Se esse limite for zero, significa que a função é derivável nesse ponto.

Passo 2

Para fazer essa conta, vamos precisar das derivadas parciais. Mas note que devemos calcular a derivada no ponto 0 ,   0 que é um ponto de colagem da função. Pontos de colagem são esses pontos que definimos a função à parte.

Assim, não podemos usar as regras de derivação nesse ponto e temos que recorrer à definição de derivada parcial:

∂ f ∂ x x 0 ,   y 0 = lim t → 0 ⁡ f x 0 + t ,   y 0 - f x 0 ,   y 0 t

∂ f ∂ y x 0 ,   y 0 = lim t → 0 ⁡ f x 0 ,   y 0 + t - f x 0 ,   y 0 t

Como estamos interessados no aque acontece no ponto x 0 ,   y 0 = 0 ,   0 :

∂ f ∂ x 0 ,   0 = lim t → 0 ⁡ f t ,   0 - f 0 ,   0 t

∂ f ∂ y 0 ,   0 = lim t → 0 ⁡ f 0 ,   t - f 0 ,   0 t

Mas note que

f t ,   0 = t 2 ⋅ 0 t 2 + 0 2 = 0 t 2 = 0                 e           f 0 ,   t = 0 2 ⋅ t 0 2 + t 2 = 0 t 2 = 0

Além disso, pela definição da função f 0 ,   0 = 0 . Assim,

∂ f ∂ x 0 ,   0 = lim t → 0 ⁡ f t ,   0 - f 0 ,   0 t = lim t → 0 ⁡ 0 t = 0

∂ f ∂ y 0 ,   0 = lim t → 0 ⁡ f 0 ,   t - f 0 ,   0 t = lim t → 0 ⁡ 0 t = 0

Portanto, as derivadas parciais são nulas em 0 ,   0 .

Passo 3

Agora podemos voltar ao limitão:

E h ,   k = f h ,   k - f 0 ,   0 - ∂ f ∂ x 0 ,   0   h - ∂ f ∂ y 0 ,   0   k = h 2 k h 2 + k 2 - 0 - 0 ⋅ h - 0 ⋅ k

Logo,

E h ,   k = h 2 k h 2 + k 2

Desta forma, o limitão fica

L = lim h ,  k → 0 ,   0 ⁡ E h ,   k h 2 + k 2 = lim h ,  k → 0 ,   0 ⁡ h 2 h 2 + k 2 ⋅ k h 2 + k 2

Para calcular esse limite, vamos escolher alguns caminhos específicos que passem pelo ponto h ,   k = 0 ,   0 . Primeiro vamos escolher o caminho h = 0 :

lim k → 0 ⁡ 0 2 0 2 + k 2 ⋅ k 0 2 + k 2 = lim k → 0 ⁡ 0 = 0

Vamos escolher agora um outro caminho com h = k :

lim k → 0 ⁡ k 2 k 2 + k 2 ⋅ k k 2 + k 2 = lim k → 0 ⁡ k 2 2 k 2 ⋅ k k   2 = ± 1 2 2

O sinal ± aparece pois k 2 = k e quando tomamos os limites laterais k → 0 + e k → 0 - , vamos obter sinais diferentes na resposta. Mas isso não é tão importante, pois de qualquer forma, por esse caminho o limite dá um valor diferente do que pelo primeiro caminho.

Com isso, vemos que o limitão não existe, pois por caminhos diferentes ela dá valores diferentes. Como o limitão não existe, a função não é diferenciável em 0 ,   0 .

Resposta

Não é diferenciável.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados