Seja gamma: I -> R^2 uma curva derivável até a 2ª ordem, com ‖γ'(t)‖ ≠ 0 no intervalo I . Seja s t = ∫ t 0 t γ ' u d u ,     t ∈ I , com t_0 fixo em I . Sejam, ainda, T(t) = γ'(t) / ‖γ'(t)‖ o versor de γ'(t) e t(s) dada por t(s) = T(t) , onde t = t(s) . Mostre que

dT(t)/dt = (γ''(t)‖γ'(t)‖^2 - [γ''(t)∙γ'(t)]γ'(t)) / ‖γ'(t)‖^3

Passo 1

O enunciado fornece uma expressão para o versor T → t (que nada mais é que um vetor que é função do γ ) e pede para acharmos a devirada de T → t em relação a t , comparando com o valor dado.

Este problema não tem segredo! Basta aplicar o que já sabemos de derivada com muita calma nessa hora e uma dessas o resultado sairá!

Passo 2

Vamos escrever abaixo a definição do T → t :

T → t = γ ' t γ ' t

Agora, como eu falei ô, vamos só aplicar a derivada e usar a regra do quociente:

d T → t d t = γ ' ' t γ ' t - γ ' t ' γ ' t γ ' t 2

Tranquilo né? Agora, malandros que somos, vamos multiplicar encima e embaixo por γ ' t para ficar mais parecido com a cara do que queremos mostrar:

d T → t d t = γ ' ' t γ ' t 2 - γ ' t ' γ ' t γ ' t γ ' t 3

Já tá ficando bem parecido! Realmente, a parte mais tosca desta expressão é o produto γ ' t ' γ ' t ... o que será que é isso??

Lembremos que, por definição γ ' t = γ ' t ∙ γ ' t . Ooook, então, baseados nisto, quanto será que vale γ ' t ' γ ' t ? Vamos calcular:

γ ' t ' γ ' t = γ ' t ∙ γ ' t ' γ ' t ∙ γ ' t

Agora ficou mais simples! Se você sabe a derivada de x você tira essa fácil!

γ ' t ' γ ' t = 1 2 γ ' t ∙ γ ' t ' γ ' t ∙ γ ' t γ ' t ∙ γ ' t

Mas quanto será que vale a derivada de um produto escalar? Podemos utilizar a regra do produto para derivadas normalzão. Resposta: sim, podemos!!

γ ' t ' γ ' t = 1 2 γ ' ' t ∙ γ ' t + γ ' t ∙ γ ' ' t = γ ' ' t ∙ γ ' t

Show de bola. Será que substituindo isto na d T → t d t já basta para fechar a pau? Vê lá:

d T → t d t = γ ' ' t γ ' t 2 - γ ' ' t ∙ γ ' t γ ' t γ ' t 3

Igualzinho enunciado né? Fechô partiu!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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