Enunciado

Um habitante comum do intestino humano é a bactéria Escherichia coli, em homenagem ao pediatra alemão Theodor Escherich, que o identificou em 1885. Uma célula dessa bactéria em meio caldo de nutrientes se divide em duas células a cada 20 minutos. A população inicial de uma cultura é de 50 células.

(a) Encontre a taxa de crescimento relativa.

(b) Encontre uma expressão para o número de células após t horas.

(c) Encontre o número de células após 6 horas.

(d) Encontre a taxa de crescimento após 6 horas.

(e) Quando a população atingirá um milhão de células?

Passo 1

Para esse problema, podemos elaborar uma função que o descreve. Chamamos P ( t ) da população de bactérias em função do tempo em horas e k , sendo a taxa de crescimento relativa, temos:

k = P ' t P t

Ou também,

d P d t = k P

Em que as soluções exponenciais sempre são do tipo: y t = y 0 e k t .

Passo 2

Com o valor inicial de 50 células, podemos dizer que:

y 0 = P 0 = 50

Sabendo que a cada 20 min, a população dobra, ou seja, o que antes era 50 vira 100 nos primeiros 20 min que é 1 3 de hora, logo

P 1 3 = P 0 e k ( 1 3 )

100 = 50 e k 3

e k 3 = 2

Elevando os membros ao cubo, temos

e k = 8

Aplicando o l n temos,

ln ⁡ e k = ln ⁡ 8

k ln ⁡ e = ln ⁡ 8

Logo a taxa de crescimento é:

k = ln ⁡ 8

Passo 3

Para encontrar a expressão para o numero de células é só substituir os dados obtidos:

P t = P 0 e k t

P t = 50 e ln ⁡ ( 8 ) t

P t = 50 e ln ⁡ 8 t

Logo,

P t = 50 8 t

Passo 4

Para encontrar o numero de células após 6 horas é só fazer o calculo de P ( 6 ) .

P t = 50 8 6

P t = 13   107   200

Passo 5

Para encontrar a taxa de crescimento após 6 horas, precisamos derivar a função e calcular para t = 6 .

P t = 50 8 t

P ' t = 50 8 t ln ⁡ 8

P ' t = 50 8 6 ln ⁡ 8

P ' ( 6 ) = 2,73 × 10 7

Passo 6

A população chega a um milhão de células P t = 10 6 , logo

10 6 = 50 8 t

20000 = 8 t

Aplicando o logaritmo dos dois lados:

t   ln ⁡ 8 = ln ⁡ 20000

t = 4,762   s

Prontinho!!

Resposta

(a) k = ln ⁡ 8

(b) P t = 50 8 t

(c) P t = 13   107   200

(d) P ' ( 6 ) = 2,73 × 10 7

(e) t = 4,762   s

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