Calcule a integral indefinida:

∫ d t 2 t 2 + 3 t + 5

Passo 1

Temos uma integral indefinida, então precisamos buscar uma primitiva para ela, ok? Este tipo de integral precisa de uma manipulação na expressão que está no denominador. Precisaremos completar o quadrado para depois usar uma substituição.

Vamos lá, precisamos somar algo para eliminar o termo de grau 1, da seguinte forma:

2 t 2 + 3 t + 5

2 t 2 + 3 2 t + 5 2

Agora eu vou somar b 2 e – b 2 para não alterar a expressão.

2 t 2 + 3 2 t + b 2 - b 2 + 5 2

Para o que está em azul virar t + b 2 , eu preciso que o meu b , seja igual ao coeficiente do t , dividido por 2, ou seja, b = 3 4 . Sendo assim,

2 t 2 + 3 2 t + 3 4 2 - 3 4 2 + 5 2

2 t + 3 4 2 - 3 4 2 + 5 2

2 t + 3 4 2 - 9 16 + 5 2 = 2 t + 3 4 2 - 9 16 + 8 ⋅ 5 16 = 2 t + 3 4 2 - 9 16 + 40 16

2 t + 3 4 2 + 31 16

Fechou então, vamos trocar a expressão da integral e ir para próxima etapa.

∫ d t 2 t 2 + 3 t + 5 = ∫ d t 2 t + 3 4 2 + 31 16

Passo 2

Agora vamos deixar essa integral com cara de uma integral conhecida.

∫ d t 2 t + 3 4 2 + 31 16 = 1 2 ∫ d t t + 3 4 2 + 31 16

Primeiro eu vou deixar o 31 16 , em evidência.

t + 3 4 2 + 31 16 = 31 16 16 31 t + 3 4 2 + 1 = 31 16 4 31 2 t + 3 4 2 + 1

= 31 16 4 31 t + 3 4 2 + 1

Ufa! Vamos substituir essa expressão na integral agora:

I = 1 2 ∫ d t t + 3 4 2 + 31 16 = 1 2 ∫ d t 31 16 4 31 t + 3 4 2 + 1 = 16 2 ⋅ 31 ∫ d t 4 31 t + 3 4 2 + 1

Pronto, pessoal. Conseguem perceber que integral é essa? Elá já está quase com cara de integral imediata, vamos continuar.

Passo 3

Vamos efetuar uma substituição na integral para ficar apenas u 2 , no denominador.

I = 8 31 ∫ d t 4 31 t + 3 4 2 + 1

Faremos então u = 4 31 t + 3 4 e derivando, temos d u = 4 31 d t .

Para ficar melhor, vamos deixar o d t sozinho para trocar a variável da integral.

Sendo assim, d t = 31 4 d u .

Passo 4

Trocando a variável da integral, ficamos com:

I = 8 31 ∫ 31 4 d u u 2 + 1 = 8 31 ⋅ 31 4 ∫ d u u 2 + 1 = 2 31 31 ∫ d u u 2 + 1

Opa! Essa integral é imediata.

Passo 5

Resolvendo a integral, ficamos com o seguinte:

I = 2 31 31 ∫ d u u 2 + 1 = 2 31 31 tan - 1 ⁡ u + C

Pois ( tan - 1 ⁡ u ) ' = 1 u 2 + 1 .

Passo 6

Agora nós voltamos na variável inicial t .

∫ d t 2 t 2 + 3 t + 5 = 2 31 31 tan - 1 ⁡ u + C

Sendo u = 4 31 t + 3 4 , temos:

∫ d t 2 t 2 + 3 t + 5 = 2 31 31 tan - 1 ⁡ 4 31 t + 3 4 + C

Não se esqueça da constante, hein.

Essa integral parece bem complicada, né? Mas não é! O que deu um pouco de trabalho foi manipular a expressão, completar quadrados e tals, a integral, como vocês viram, era imediata.

Resposta

∫ d t 2 t 2 + 3 t + 5 = 2 31 31 tan - 1 ⁡ 4 31 t + 3 4 + C

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