Enunciado

Ache o comprimento da catenária y = cosh x de (ln 2 , (5)/(4)) até (ln 3 , (5)/(3)) .

Passo 1

Um resumo sobre o que é catenária: Em matemática, a catenária descreve uma família de curvas planas semelhantes às que seriam geradas por uma corda suspensa pelas suas extremidades e sujeitas à ação da gravidade. A equação da forma da catenária é dada pela função hiperbólica.

Agora para resolver, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

L = int_a^b sqrt(1 + (f ' (x))^2) d x

Essa é a fórmula.

Passo 2

Precisamos de [ f ’ (x) ] e do intervalo de integração para montar a integral.

Se f (x) = cosh x , então f ' (x) = senh x -> [f ' (x)]^2 = senh^2 x .

Já o intervalo de integração será de x = ln 2 até x = ln 3 , abscissas dos pontos dados no enunciado.

Sendo assim, o comprimento é dado por

L = int_(ln 2)^(ln 3) sqrt(1 + senh^2 x) d x

Passo 3

Antes de resolver a integral, vamos usar a identidade:

1 + senh^2 x = cosh^2 x

e ficar com:

int_(ln 2)^(ln 3) sqrt(1 + senh^2 x) d x = int_(ln 2)^(ln 3) sqrt(cosh^2 x) d x = int_(ln 2)^(ln 3) | cosh x | d x = int_(ln 2)^(ln 3) cosh x d x

Podemos tirar do módulo, pois cosh x , é uma função sempre positiva!

Passo 4

Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

L = int_(ln 2)^(ln 3) cosh x d x = senh ( ln 3 ) - senh ( ln 2 )

Aqui usamos o fato de (senh x) ' = cosh x , a primitiva que precisávamos.

Passo 5

Pessoal, senh x = (( e^x - e^(- x) ))/(2) . Então:

L = (( e^(ln 3) - e^(- ln 3) ))/(2) - (( e^(ln 2) - e^(- ln 2) ))/(2) = ((3 - (1)/(3)))/(2) - ((2 - (1)/(2)))/(2)

Usei as propriedades de logaritmo e^(ln x) = x e ln x^a = a ln x .

L = (((9 - 1)/(3)))/(2) - (((4 - 1)/(2)))/(2) = ((8)/(3) - (3)/(2))/(2) = ((16 - 9)/(6))/(2) = (7)/(12) u . c

Sendo assim, o comprimento é L = (7)/(12) u . c

Resposta

L = (7)/(12) u . c

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