Enunciado

Um holofote sobre o chão ilumina uma parede de 12 m distante dele. Se um homem de   2 m de altura anda do holofote em direção à parede a uma velocidade de 1,6 m/s, quão rápido descreve o comprimento de sua sombra sobre a parede quando ele está a 4 m dela?

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos aqui um problema de taxa relacionada!

De um lado temos um holofote e do outro temos uma parede de 12   m que esta sendo iluminado pelo holofote. Um homem de 2   m de altura anda do holofote até a parede com uma velocidade igual a 1,6   m / s .

O que temos que responder é, qual a velocidade altura da sombra do homem na parede diminui?

Isso porque quando o homem esta no mesmo ponto que o holofote a sua sombra tem o tamanho da parede, que é 12   m , mas a medida que ele vai seguindo em frente essa sombra vai diminuir.

Vamos chamar a distância do homem ao holofote de x e a distância do homem a parede de y .

É importante lembrar que se a distância do holofote à parede é de 12 m, então:

x + y = 12

Queremos aqui achar:

y ' ( t ) = ? ? ?

Passo 2

A sombra do homem é projetada sobre a parede, descrevendo uma situação de semelhança de triângulos. Se chamarmos de h , a altura da sombra, temos a seguinte situação:

Logo, por semelhança de triângulos:

h 12 = 2 x

h = 24 x

Passo 3

Logo, para achar a taxa com que h varia, é só encontrar a sua derivada em função do tempo:

h ' t = 24 ∙ - 1 ∙ x - 2 ∙ x ' t

h ' t = - 24 x ' t x 2

Quando y = 4 e x = 12 - y = 12 - 4 = 8 , e o homem caminha no sentido de crescimento de x a uma taxa de x ' t = 1,6 m/s, então:

h ' t = - 24 ( 1,6 ) 8 2 =   - 3 5

Logo, o comprimento da sombra decresce (por conta do sinal negativo) a uma razão de 3 5 m/s.

Resposta

O comprimento da sombra decresce a uma razão de 3 5 m/s.

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