Enunciado

A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1   cm/min, enquanto a área do triângulo cresce a uma taxa de 2   c m 2 / m i n . A que taxa varia a base do triângulo quando a altura �� de 10   cm e a área, de 100   c m 2 ?

Passo 1

Opa, bora lá! Temos um triângulo e a sua altura esta aumentando a uma taxa de:

d h d t = 1   c m / m i n

Já a sua área cresce a uma taxa de:

d A d t = 2 c m / m i n

Queremos saber qual a variação da base do triângulo quando h = 10   c m e A = 100   c m ! Ou seja:

d b d t = ? ? ? ?

Se a área do triângulo ( A ) e dada pela metade do produto do comprimento da base ( b ) e a altura ( h ), então:

A = b × h 2

Derivando em função do tempo ( t ) temos:

d A d t = 1 2 d d t b h

Pela regra do produto:

d A d t = 1 2 h d b d t + b d h d t

Passo 2

Substituindo os dados:

d A d t = 1 2 h d b d t + b d h d t

2 = 1 2 10 d b d t + b 1

Sabemos que h = 10   c m e A = 100   c m então podemos calcular b :

b = 2 A h = 2 100 10 = 20

Substituindo e isolando d b / d t :

d b d t = 2 2 - 20 10

d b d t = - 1,6   c m / m i n

Logo, a taxa de variação da base é de - 1,6   c m / m i n . A base esta diminuindo com o passar do tempo!

Resposta

A taxa de variação da base é de - 1,6   c m / m i n .

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