Enunciado

4) O comprimento de um retângulo está crescendo a uma taxa de 8 cm/s e sua largura está crescendo a uma taxa de 3 cm/s. Quando o comprimento for 20 cm e a largura for 10 cm, quão rapidamente estará crescendo a área do retângulo?

Passo 1

Bora lá! Temos um retângulo e seu comprimento x esta crescendo a uma taxa de 8 cm/s e sua largura y está crescendo a uma taxa de 3 cm/s. Sabendo disso a gente precisa responder com que taxa a área do retângulo estará aumentando quando tivermos:

x = 20

y = 10   c m

A primeira coisa que devemos fazer é relacionar a área em função de seu comprimento e sua largura. Sabemos que se x é o comprimento e y é a largura dos lados do retângulo, então a área A x , y é dada por:

A = x y

Passo 2

Se x e y variam com o tempo t e a área varia em função de x e y então a área também varia com o tempo. Já que isso acontece podemos derivar implicitamente toda a equação em função do tempo com auxílio da regra do produto:

A ' t = x ' t y + x y ' ( t )

Se no dado instante, o comprimento for x = 20 cm, e a largura for y = 10 cm e as taxas de variação (derivadas) forem x ' t = 8 cm/s e y ' t = 3 cm/s. Então:

A ' t = 8 × 10 + 20 × 3

A ' t = 80 + 60 = 140   c m 2 / s

Logo, a área do retângulo varia a uma taxa de 140   c m 2 / s .

Resposta

A área do retângulo varia a uma taxa de 140   c m 2 / s .

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