Enunciado

Se z^2 = x^2 + y^2 , (d x)/(d t) = 2 e (d y)/(d t) = 3 , encontre (d z)/(d t) quando x = 5 e y = 12 .

Passo 1

Primeiramente vamos derivar implicitamente a função em relação a t :

z^2 = x^2 + y^2

2 z (d z)/(d t) = 2 y (d y)/(d t) + 2 x (d x)/(d t)

z (d z)/(d t) = y (d y)/(d t) + x (d x)/(d t)

Passo 2

Quando x = 5 e y = 12 , devemos achar o z :

z^2 = x^2 + y^2

z^2 = 5^2 + 12^2

z^2 = 169

z = +- 13

Passo 3

Já temos que (d x)/(d t) = 2 e (d y)/(d t) = 3 , então é só substituir na derivada:

( +- 13 ) (d z)/(d t) = 12 ( 3 ) + 5 ( 2 )

(d z)/(d t) = +- (46)/(13)

Logo, (d z)/(d t) = +- (46)/(13) .

Resposta

(d z)/(d t) = +- (46)/(13) .

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