Enunciado

Identidade para s e n - 1 x + c o s - 1 x = π 2 : A figura (1) estabelece a identidade para 0 < x < 1 . Para estabelecer a identidade para o restante de [-1,1], verifique, por cálculo direto, que ela é verdadeira para x = 1,0 e -1. Em seguida, para valores de x em (-1,0) faça x = - a ,   a > 0 e aplique as equações (2) e (3) à soma s e n - 1 ( - a ) + c o s - 1 ( - a ) .

Figura (1)

Equação (2)

Equação (3)

Passo 1

Então, galera, o enunciado já nos deu o que a gente tem que fazer. Nosso passo-a-passo vai ficar assim:

  1. Verificar que ela é verdadeira para x = 1,0 e -1
  2. Aplicar a equação (2) e a equação (3), com x = - a ,   a > 0 e x em (-1,0)

Além disso, vamos lembrar que s e n - 1 é a mesma coisa que a r c s e n , que é o “arco cujo seno vale tanto” e c o s - 1 é a mesma coisa que a r c c o s que é “o arco cujo cosseno vale tanto”.

Vamos pro Passo 2 ver como é que fica!

Passo 2

Aqui vamos só jogar os valores x = 1,0 e -1 na equação s e n - 1 x + c o s - 1 x = π 2 e ver que eles funcionam.

Para x = 0 :

s e n - 1 x + c o s - 1 x = π 2 → s e n - 1 0 + c o s - 1 0 = π 2 .

O arco cujo seno vale 0 é o próprio 0 e o arco cujo cosseno vale 0 é π 2 (existem outros, mas eu só preciso de um deles pra provar).

Então, s e n - 1 0 + c o s - 1 0 = π 2 → 0 + π 2 = π 2 → π 2 = π 2 , o que prova que é verdade.

Para x = 1 :

s e n - 1 x + c o s - 1 x = π 2 → s e n - 1 1 + c o s - 1 1 = π 2

O arco cujo seno vale 1 é o π 2 e o arco cujo cosseno vale 1 é o 0.

Então, s e n - 1 1 + c o s - 1 1 = π 2 → π 2 + 0 = π 2 → π 2 = π 2 → s e n - 1 1 + c o s - 1 1 = π 2 , o que prova que é verdade.

Para x = - 1 :

s e n - 1 x + c o s - 1 x = π 2 → s e n - 1 ( - 1 ) + c o s - 1 ( - 1 ) = π 2

O arco cujo seno vale -1 é o 3 π 2 e o arco cujo cosseno vale -1 é o π .

Então, s e n - 1 ( - 1 ) + c o s - 1 ( - 1 ) = π 2 → 3 π 2 + π = π 2 → 3 π + 2 π 2 = π 2 → 5 π 2 = π 2 → 4 π + π 2 = π 2 → 4 π 2 + π 2 = π 2 → 2 π + π 2 = π 2 . Como esse 2 π só indica que você deu duas voltas a mais no Círculo Trigonométrico e caiu no mesmo arco, temos que s e n - 1 ( - 1 ) + c o s - 1 ( - 1 ) = 2 π + π 2 = π 2 → s e n - 1 ( - 1 ) + c o s - 1 ( - 1 ) = π 2 , o que prova que é verdade.

Passo 3

Aqui, vamos dizer que x = - a ,   a > 0 e x em (-1,0). Por que esse x = - a ,   a > 0 ? Porque o x tá em um intervalo negativo e a gente representa um número negativo como menos um número positivo, por isso que a > 0 . Só que a gente só sabe que as equações dadas valem pra valores positivos de x , e não pra negativos e o que a gente quer provar é que vale pra negativos também. Então saca só:

Queremos mostrar que: s e n - 1 ( - a ) + c o s - 1 ( - a ) = π 2 , onde - a é um valor negativo. Então, vamos começar olhando pra soma:

s e n - 1 ( - a ) + c o s - 1 ( - a ) = s e n - 1 ( - a ) + [ π - c o s - 1 a ] , porque, pela equação (2), c o s - 1 ( - a ) + c o s - 1 a = π → c o s - 1 ( - a ) = π - c o s - 1 a , onde x = - a .

Mas lembre que, pela equação (3), s e n - 1 a + c o s - 1 a = π 2 → c o s - 1 a = π 2 - s e n - 1 a , porque a é um número positivo.

Então:

s e n - 1 ( - a ) + c o s - 1 ( - a ) = s e n - 1 ( - a ) + [ π - c o s - 1 a ] = s e n - 1 ( - a ) + [ π - ( π 2 - s e n - 1 a ) ] = s e n - 1 ( - a ) + π - π 2 + s e n - 1 a

Até aí você entendeu? Vamos continuar:

s e n - 1 ( - a ) + c o s - 1 ( - a ) = s e n - 1 ( - a ) + π - π 2 + s e n - 1 a = s e n - 1 ( - a ) + π 2 + s e n - 1 a = s e n - 1 ( - a ) + s e n - 1 a + π 2 (nessa última parte aqui eu só coloquei os s e n - 1 pertinhos)

Ok, aqui chegamos em mais um detalhe: a função seno é ímpar, ou seja, s e n ( - x ) = - s e n x . Então, a r c s e n ( - x ) = - a r c s e n x o que nos dá que a r c s e n ( - x ) + a r c s e n x = 0 . Logo:

s e n - 1 ( - a ) + c o s - 1 ( - a ) = s e n - 1 ( - a ) + s e n - 1 a + π 2 = 0 + π 2 = π 2 . Assim, concluímos que s e n - 1 ( - a ) + c o s - 1 ( - a ) = π 2 e, como - a é um número negativo, provamos que a igualdade vale pra negativos também.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o domínio e a imagem da função g x = sin - 1 ⁡ ( 3 x + 1 )
Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ ( sin - 1 ⁡ x ) E explique sua aparênciaFaça o gráfico da função f x = sin - 1 ⁡ sin ⁡ x Como você pode explicar a aparência desse gráfico?
Faça o gráfico da função f x = x 3 + x 2 + x + 1 E explique por que ela é injetora. Use então um sistema de computação algébrica (SCA) para encontrar uma expressão explícita para f - 1 x . (Seu SCA va
Se g x = x 6 + x 4 , x ≥ 0 Use um sistema de computação algébrica para encontrar uma expressão para g - 1 ( x ) .Use a expressão da parte (a) para fazer na mesma tela um gráfico de y = g ( x ) , y = x
Se transladamos uma curva para a esquerda, o que acontece com sua reflexão em torno da reta y = x ? Em vista deste princípio geométrico, encontre uma expressão para a inversa de g x = f ( x + c ) Em q