Enunciado

Identificar as afirmações verdadeiras:

a) A união de bolas abertas é um conjunto conexo.

Passo 1

Vamos começar vendo qual é a definição de bola aberta. Ela é uma figura que tem por equação:

x - x c 2 + y - y c 2 < r

Ou seja, é a parte interna de uma circunferência, sem contar a borda dela (inclusive por isso ela é um conjunto aberto). Enquanto isso, um conjunto conexo é um conjunto que não tem nenhuma divisão nele, de modo que duas ou mais partes do conjunto fiquem completamente separadas.

Passo 2

Então o que a gente tem que analisar é se, juntando duas bolas abertas, a gente forma um conjunto conexo. Vamos tentar resolver graficamente?

Se a gente pegar duas bolas abertas, de forma que uma esteja contida na outra, o conjunto da união delas pode ser representado só pela bola de fora, então nesse caso a união é sim um conjunto conexo, já que tá todo mundo ali naquela região bonitinha, e pode ser facilmente ligado por uma linha.

Se a gente considerar duas bolas, de forma que uma não esteja totalmente contida na outra, a coisa muda: agora, o conjunto união delas deixou de ter até mesmo o formato de uma circunferência, então deixou de ser uma bola aberta. Mas isso não impede que seja um conjunto conexo! Como a gente pode ver, ao juntar as duas, continuamos com uma parada que não tem nenhuma divisão no meio, de modo que podemos ligar os pontos tranquilamente, e por isso, é conexo.

Só tem um caso que ferra a gente: se elas estiverem bem na pontinha encostadas, ou mesmo separadas.

Como que a gente vai ligar os dois conjuntos nesse caso sem passar por fora de um deles? Não tem como! Por isso, essa é falsa.

Resposta

Falsa.

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Identificar as afirmações verdadeiras:f) R 2 é um conjunto aberto.
Identificar as afirmações verdadeiras:g) Todo ponto de acumulação de um conjunto A pertence a esse conjunto.
Identificar as afirmações verdadeiras:b) Os pontos P ( 0 ,4 ) e Q ( 2 ,2 ) pertencem à fronteira do conjunto B = { x , y ∈ R 2 | y4 - x 2 } .
Identificar as afirmações verdadeiras:e) Toda bola aberta é um conjunto aberto.
Representar graficamente os seguintes subconjuntos de R 2 . Identificar os conjuntos abertos. { x , y ∈ R 2 | x + y ≤ 1 }