Enunciado

Identificar as curvas a seguir e parametrizá-las. Esboçar o seu gráfico.

b) 2 x 2 + 5 y 2 - 6 x - 2 y + 4 = 0

Passo 1

Então galerinha, o primeiro passo de todos aqui é completar os quadrados em x e em y para vermos o formato que que a nossa equação vai ficar, tudo bem? A equação que nos foi dada é:

2 x 2 + 5 y 2 - 6 x - 2 y + 4 = 0

Completando os quadrados, teremos o seguinte:

2 x - 3 2 2 + 5 y - 1 5 2 = 7 10

x - 3 2 2 7 20 + y - 1 5 2 7 50 = 1

Pela equação que encontramos, podemos concluir que se trata de uma equação de elipse com:

C e n t r o : 3 2 , 1 5

S e m i e i x o s : a = 7 20   b = 7 50

Até aqui tudo tranquilão, certo? Então vamos continuar!

Passo 2

Para determinarmos uma equação vetorial, temos que lembrar que uma equação desse tipo para uma elipse é dado pela seguinte equação:

r → t = x 0 + a . cos ⁡ t i → + y 0 + b . s e n   t j →

Para a nossa elipse, temos que:

x 0 = 3 2 ,   y 0 = 1 5 ,   a = 7 20   e   b = 7 50

Substituindo na equação vetorial, teremos:

r → t = 3 2 + 7 20 . cos ⁡ t i → + 1 5 + 7 50 . s e n   t j →

Sendo assim, a representação paramétrica será:

x = 3 2 + 7 20 . cos ⁡ t y = 1 5 + 7 50 . s e n   t

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da elipse que encontramos, teremos o seguinte:

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

Elipse: x - 3 2 2 7 20 + y - 1 5 2 7 50 = 1

Parametrização: x = 3 2 + 7 20 . cos ⁡ t y = 1 5 + 7 50 . s e n   t

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