1.

Seja

z = f x , y = 24 - 6 x 2 - 2 y 2 3

a) Determine o domínio da função f e esboce seu gráfico.

b) Encontre a curva de nível C da função f que contém o ponto P = 6 2 , 3 2 2 .

c) Dê uma parametrização para a curva C do item b ) .

Resolução
2.

Considere a curva γ t = ( cos ⁡ t , tan 2 ⁡ t ) com t ∈ 0 , π 2

  1. Mostre que a imagem de γ está contida numa curva de nível da função f x , y = y - 1 x 2 + 2 e determine o nível.
  2. Esboce a imagem de γ indicando o sentido do seu percurso.
Resolução
3.

Sejam γ t = 2 - cos ⁡ t , sec 2 ⁡ t + 3 ,   t ∈ 0 , π 2   e f x , y = x - 2 2 y - 3 3 2 + 1 . Esboce a imagem de γ e mostre que ela está contida em uma curva de nível de f , indicando qual é o nível.

Resolução
4.

Considere a função f x , y = x 3 + 2 x - 3 y 2 e seja C a curva de nível de f que passa pelo ponto 3,0 .

  1. Represente geometricamente o domínio de f e Faça um esboço da curva C .
  2. Determine uma parametrização para a curva C , isto é, encontre um intervalo I e uma função γ : I → R 2 contínua cuja imagem é C .
Resolução
5.

Considere a função f x , y = 2 y - 3 y 2 - x 2

  1. Represente geometricamente o domínio de f e faça um esboço da curva de nível C que passa pelo ponto ( 0,3 ) .
  2. Encontre um intervalo I e uma função γ : I → R 2 contínua cuja imagem é C .
Resolução
6.

Sejam γ t = 2 - cos ⁡ t , sec 2 ⁡ t + 3 ,   t ∈ 0 , π 2   e f x , y = x - 2 2 y - 3 3 2 + 1 . Esboce a imagem de γ e mostre que a ela está contida em uma curva de nível de f , indicando qual é o nível.

Resolução
7.

Considere a curva γ t = ( cos ⁡ t , tan 2 ⁡ t ) com t ∈ 0 , π 2

  1. Mostre que a imagem de γ está contida numa curva de nível da função f x , y = y - 1 x 2 + 2 e determine o nível.
  2. Esboce a imagem de γ indicando o sentido do seu percurso.
Resolução
8.

Considere a função f x , y = 2 y - 3 y 2 - x 2

  1. Represente geometricamente o domínio de f e faça um esboço da curva C que passa pelo ponto ( 0,3 ) .
  2. Encontre um intervalo I e uma função γ : I → R 2 contínua cuja imagem é C .
Resolução
9.

A temperatura (em graus Celsius ) em uma placa de metal é dada por T x , y = 36 - 2 x 2 - 4 y ² , onde x e y são medidos em centímetros. Um objeto está no ponto P = ( 2,1 ) .

Determine as equações paramétricas da curva de nível de T (chamada isoterma) que passa pelo ponto P = ( 2,1 ) .

Resolução
10.

Suponha que a imagem da curva γ t = t ,   y t está contida na curva de nível 2 da função f x ,   y = x 2 + 4 y + 5 x + 1 , em que x ,   y ∈ R 2 . Então, a reta tangente a γ em γ 1 é

a) 7 x + 4 y = 2 .

b) 8 x + 4 y = 3 .

c) 6 x + 4 y = 1 .

d) 6 x + 5 y = 2 .

e) 6 x + 5 y = 3 .

Resolução
11.

Suponha que a imagem da curva γ t = t ,   y t está contida na curva de nível 3 da função f x ,   y = x 2 + 4 x + 5 y + 1 , em que x ,   y ∈ R 2 . Então, a reta tangente a γ em γ 1 é

a) 6 x + 5 y = 3 .

b) 7 x + 5 y = 1 .

c) 5 x + 5 y = 2 .

d) 7 x + 4 y = 3 .

e) 7 x + 4 y = 2 .

Resolução
12.

Suponha que a imagem da curva γ t = t ,   y t está contida na curva de nível 3 da função f x ,   y = x 2 + 4 y + 5 x + 1 , em que x ,   y ∈ R 2 . Então, a reta tangente a γ em γ 1 é

a) 7 x + 4 y = 3 .

b) 6 x + 4 y = 2 .

c) 8 x + 4 y = 4 .

d) 6 x + 5 y = 2 .

e) 6 x + 5 y = 3 .

Resolução
13.

Suponha que a imagem da curva γ t = t ,   y t está contida na curva de nível 2 da função f x ,   y = x 2 + 4 x + 5 y + 1 , em que x ,   y ∈ R 2 . Então, a reta tangente a γ em γ 1 é

a) 6 x + 5 y = 2 .

b) 5 x + 5 y = 1 .

c) 7 x + 5 y = 3 .

d) 7 x + 4 y = 3 .

e) 7 x + 4 y = 2 .

Resolução
14.

Seja f x , y = x 3 - y 2 . Considere as curvas de nível

C 0 = x , y ∈ R 2   |   f x , y = 0

e

C - 1 = x , y ∈ R 2   |   f x , y = - 1

a) Exiba uma parametrização da forma α t = g t , t ,   t ∈ a , b para C - 1 ∩ x , y ∈ R 2 | - 1 < y < 1 , explicitando g t , a e b . E, ainda, calcule α ' t .

b) Exiba uma parametrização da forma β t = t , h t , t ∈ I , para C - 1 ∩ x , y ∈ R 2 | y ≥ 0 .

c)Encontre o(s) pontos de C - 1 onde sua reta tangente é vertical.

d)Encontre o(s) pontos de C - 1 onde sua reta tangente é horizontal.

e) Esboce C 0 e C - 1 .

f) Encontre apenas um ponto x 0 , y 0 de C - 1 onde a reta tangente à C - 1 neste ponto é paralela à reta 2 x - y = 1 . Dica: Levem em conta que x = 2 é solução da equação - 9 16 x 4 + x 3 + 1 = 0 e t = 6 é solução de 2 3 t 2 3 - 1 4 t 2 = - 1 .

Resolução

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