Enunciado

Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:

j) z = 1 x - 1 2 + y - 1 2

Passo 1

Devemos analisar as derivadas parciais de f em relação a x e y :

∂ f ∂ x = - 2 ( x - 1 ) x 2 - 2 x + y 2 + 2 - 2 y 2

∂ f ∂ y = - 2 ( y - 1 ) x 2 - 2 x + y 2 + 2 - 2 y 2

Como as derivadas parciais de f em relação a x e y são contínuas, f é diferenciável em R 2 - ( 1,1 ) .

Resposta

f é diferenciável em R 2 - ( 1,1 ) .

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Se z = f x , y ,x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , onde f é uma função diferenciável, expressar ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y como funções de r e θ .
Admita a seguinte propriedade: se f x , y for contínua no retângulo a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d , então, para todo ϵ0 , existe δ0 , tal que, quaisquer que sejam x , y e s , t no retângulo, x , y - x , tδ ⇒
8. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em 0,0 f x , y = x y x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0 = 0 → x , y = 0,0
8. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em 0,0 b. f x , y = x 1 3 cos ⁡ y
8. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em 0,0 c. f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0 = 0 → x , y = 0,0