Enunciado

Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e encontre os vértices e os focos.

x 2 - 2 x + 2 y 2 - 8 y + 7 = 0

Passo 1

Galera, vamos começar manipulando essa equação algebricamente. Vamos agrupar os termos que possuem x e os que possuem y .

x 2 - 2 x + 2 y 2 - 8 y = - 7

x 2 - 2 x + 2 y 2 - 4 y = - 7

Podemos perceber que temos dois produtos notáveis quaaase completos. Vamos completar os quadrados para chegarmos na equação da cônica. Para o x , vamos somar - 2 2 2 = 1 nos dois lados da igualdade; para y , vamos somar 2 - 4 2 2 = 4 dos dois lados da equação. Assim,

x 2 - 2 x + - 2 2 2 + 2 y 2 - 4 y + - 4 2 2 = - 7 + - 2 2 2 + 2 - 4 2 2

x 2 - 2 x + 1 + 2 y 2 - 4 y + 4 = - 7 + 1 + 8

x - 1 2 + 2 y - 2 2 = 2

Vamos dividir a equação por 2

x - 1 2 2 + 2 y - 2 2 2 = 2 2

x - 1 2 2 + y - 2 2 = 1

Passo 2

A forma geral da elipse com seu eixo maios na horizontal e centro no ponto ( h , k ) é:

x - h 2 a 2 + y - k 2 b = 1

Portanto, para o nosso problema, a = 2 e b = 1 , o centro é o ponto h , k = ( 1,2 ) . Os vértices estão em h ± a , k = ( 1 ± 2 , 2 ) .

Os focos estão nos pontos h ± c , k . Para descobrirmos o valor de c , vamos fazer uso da seguinte equação:

c 2 = a 2 - b 2

c 2 = 2 - 1 = 1

c = 1 = 1

Assim, os focos estão em h ± c , k = 1 ± 1,2 = 0,2 , ( 2,2 ) .

Resposta

A cônica e uma elipse com vértices ( 1 ± 2 , 2 ) e focos 0,2 , ( 2,2 ) .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Complete os quadrados para identificar as seções cônicas nos Exercícios 69-76. Encontre seus focos, vértices, centros e assíntotas (conforme apropriado). Se a curva for uma parábola, encontre também s
Complete os quadrados para identificar as seções cônicas nos Exercícios 69-76. Encontre seus focos, vértices, centros e assíntotas (conforme apropriado). Se a curva for uma parábola, encontre também s
Os Exercícios 81-84 fornecem as excentricidades das seções cônicas com um foco na origem do plano de coordenadas polares, com a diretriz para aquele foco. Encontre uma equação polar para cada seção cô
Encontre o volume do sólido gerado girando a região delimitada pela elipse 9 x 2 + 4 y 2 = 36 em torno (b) do eixoy .
Encontre o volume do sólido gerado girando a região delimitada pela elipse 9 x 2 + 4 y 2 = 36 em torno (a) do eixo x .