Enunciado

Uma região R é mostrada. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares, e escreva ∬ R f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .

Passo 1

Bom, pessoal, aqui vamos usar as coordenadas polares. Primeiro de tudo, vamos parametrizar x e y :

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Portanto, a reta que delimita nossa região R y = - x será igual a

r cos ⁡ θ = - r sen ⁡ θ

cos ⁡ θ = - s e n   θ

Os ângulos que satisfazem essa igualdade são θ = - π 4 e θ = 3 π 4 . Já encontramos nossos limites de integração para o ângulo. Para o raio r , os limites de integração serão de 0 a 3 . Logo,

∬ R f ( x , y ) d A = ∫ - π 4 3 π 4 ∫ 0 3 f r cos ⁡ θ , r sen ⁡ θ   r   d r   d θ

Resposta

A integral dupla pode ser escrita como:

∬ R f ( x , y ) d A = ∫ - π 4 3 π 4 ∫ 0 3 f r cos ⁡ θ , r sen ⁡ θ   r   d r   d θ

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