A igualdade tg x = a \* cotg x + b \* cotg 2x é cálida para todo x != k\*pi/2 . Determine a e b.A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas.

Passo 1

Aqui podemos simplesmente usar a definição de cotangente c o t g   x = 1 t g   x e a fórmula do arco duplo da tangente t g   2 x = 2 ⋅ t g   x 1 - t g 2   x

Começamos invertendo as cotangentes, ficando com:

t g   x = a ⋅ c o t g   x + b ⋅ c o t g   2 x t g   x = a ⋅ 1 t g   x + b ⋅ 1 t g   2 x  

Passo 2

Nosso passo seguinte será rescrever a última parcela usando a fórmula citada no passo anterior. Ficaremos assim:   t g   x = a ⋅ 1 t g   x + b ⋅ 1 2 ⋅ t g   x 1 - t g 2   x = a ⋅ 1 t g   x + b ⋅ 1 - t g 2   x 2 ⋅ t g   x podemos juntar as duas frações, escrevendo: t g   x = 2 a + b ⋅ 1 - t g 2   x 2 t g x

Passando o denominador para o outro lado multiplicando, vamos ficar assim:

2 ⋅ t g 2 x = 2 a + b - b ⋅ t g 2 x

Passo 3

Agora vamos resolver essa equação por comparação, primeiro vamos escrever da seguinte forma:

2 ⋅ t g 2 x - 2 a = b - b ⋅ t g 2 x

Logo, os coeficientes da função tangente têm que ser iguais nos dois lados e os coeficientes numéricos também, disso tiramos que: 2 = - b   e - 2 a = b resolvendo rapidamente, percebemos que: b = - 2   e   a = 1

Resposta

b = - 2   e   a = 1

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