Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 71
Ilustre a regra de L’Hospital fazendo o gráfico de e próximo de , para ver que essas razões têm o mesmo limite quando . Calcule também o valor exato do limite.
e
Passo 1
Essa é uma questão muito interessante para vermos na prática que a regra de L’Hospital funciona. Vamos plotar tanto como e mostrar que para próximo de ambas tendem ao mesmo valor.
Passo 2
Vamos plotar primeiro a razão
Note que quando , a razão é uma indeterminação do tipo 0/0. Seu gráfico:
Como o limite é indeterminado do tipo 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hospital. Derivando tanto o numerador como o denominador, temos
O gráfico dessa razão é
Note que tanto o gráfico dessa razão como o da razão anterior parecem “cortar” o eixo no mesmo ponto. Isso ilustra que para esse caso, vale
Passo 3
Calculando o limite explicitamente:
Resposta
.