Enunciado

Ilustre a regra de L’Hospital fazendo o gráfico de f x / g ( x ) e f ' x / g ' ( x ) próximo de x = 0 , para ver que essas razões têm o mesmo limite quando x → 0 . Calcule também o valor exato do limite.

f x = e x - 1 e g x = x 3 + 4 x

Passo 1

Essa é uma questão muito interessante para vermos na prática que a regra de L’Hospital funciona. Vamos plotar tanto f x / g ( x ) como f ' x / g ' ( x ) e mostrar que para x próximo de 0 ambas tendem ao mesmo valor.

Passo 2

Vamos plotar primeiro a razão

f ( x ) g ( x ) = e x - 1 x 3 + 4 x

Note que quando x → 0 , a razão é uma indeterminação do tipo 0/0. Seu gráfico:

Como o limite é indeterminado do tipo 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hospital. Derivando tanto o numerador como o denominador, temos

f ' ( x ) g ' ( x ) = e x 3 x 2 + 4

O gráfico dessa razão é

Note que tanto o gráfico dessa razão como o da razão anterior parecem “cortar” o eixo y no mesmo ponto. Isso ilustra que para esse caso, vale

lim x → 0 ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → 0 ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )

Passo 3

Calculando o limite explicitamente:

lim x → 0 ⁡ e x - 1 x 3 + 4 x = lim x → 0 ⁡ e x 3 x 2 + 4 = 1 4

Resposta

1 / 4 .

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Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m t → 0 8 t - 5 t
Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m t → 1 t 8 - 1 t
Use os gráficos de f e g e suas retas em ( 2,0 ) para encontrar lim x → 2 ⁡ f x g x
Encontre o limite. Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m θ → π 2 1 - s e n
Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x3 x 3 x