Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 39
Use o método de Newton para encontrar as coordenadas, com precisão de seis casas decimais, do ponto na parábola que esteja mais próximo da origem.
Passo 1
Nós precisamos minimizar a distância de até um ponto arbitrário na curva , vamos lembrar a fórmula da distância:
Substituindo a expressão da curva na fórmula da distância ficamos com:
Temos que quando , vai ser minimizado e de forma equivalente também será minimizada, então usamos o método de Newton com e .
Temos que:
e
Passo 2
Para aplicar o método de Newton, vamos usar sua fórmula:
Vamos substituir na fórmula de Newton:
Vamos agora analisar qual valor usar para , pelo gráfico abaixo, vamos usar , pronto, agora é só substituir, vai ser cansativo, mas vamos lá:
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Agora com :
Passo 3
Vamos agora calcular para achar o valor da menor distância:
E para calcular o ponto vamos usar e calcular subatituindo na equação da curva:
Resposta
O ponto é .
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