Enunciado

Use o método de Newton para encontrar as coordenadas, com precisão de seis casas decimais, do ponto na parábola y = x - 1 2 que esteja mais próximo da origem.

Passo 1

Nós precisamos minimizar a distância de 0,0 até um ponto arbitrário x , y na curva y = x - 1 2 , vamos lembrar a fórmula da distância:

d = x 2 + y 2

Substituindo a expressão da curva na fórmula da distância ficamos com:

d x = x 2 + x - 1 2 2 = x 2 + x - 1 4

Temos que quando d ' = 0 , d vai ser minimizado e de forma equivalente s = d 2 também será minimizada, então usamos o método de Newton com f = s ' e f ' = s ' ' .

s = x 2 + x - 1 4

Temos que:

f x = s ' x = x 2 + x - 1 4 ' = 2 x + 4 x - 1 3

e

f ' x = 2 x + 4 x - 1 3 ' = 2 + 12 x - 1 2

Passo 2

Para aplicar o método de Newton, vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos substituir na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - 2 x n + 4 x n - 1 3 2 + 12 x n - 1 2

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo, vamos usar x 1 = 0,5 , pronto, agora é só substituir, vai ser cansativo, mas vamos lá:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - 2 x 1 + 4 x 1 - 1 3 2 + 12 x 1 - 1 2 = 0,4

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - 2 x 2 + 4 x 2 - 1 3 2 + 12 x 2 - 1 2 ≈ 0,410127

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - 2 x 3 + 4 x 3 - 1 3 2 + 12 x 3 - 1 2 ≈ 0,410245

Agora com x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - 2 x 4 + 4 x 4 - 1 3 2 + 12 x 4 - 1 2 ≈ 0,410245

Passo 3

Vamos agora calcular d 0,410245 para achar o valor da menor distância:

d 0,410245 ≈ 0,537841

E para calcular o ponto vamos usar x = 0,410245 e calcular y subatituindo na equação da curva:

y = x - 1 2 = 0,410245   - 1 2 = 0,347810

Resposta

O ponto é 0,410245     ,   0,347810 .

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