Enunciado

A imagem da curva γ ( t ) está contida na intersecção da superfície cilíndrica x 2 + y 2 = 2 com a superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Suponha que γ t 0 = ( 1 ,   1 ,   1 ) e γ ' t 0 ≠ 0 → .

a) Determine a reta tangente a γ em γ ( t 0 ) .

b) Determine uma curva γ ( t ) satisfazendo as condições acima.

Passo 1

A questão pede para acharmos a equação da reta tangente a uma curva que é dada pela intersecção de duas superfícies no ponto 1 ,   1 ,   1 . Para isso, vamos precisar achar o vetor tangente à curva nesse ponto.

O primeiro passo é reescrever as superfícies como se fossem superfícies de nível de funções de três variáveis:

f x , y , z = x 2 + y 2 - 2

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 3

Os gradientes dessas funções darão os vetores normais aos respectivos planos tangentes:

∇ g x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z ⇒ ∇ f 1 ,   1 ,   1 = 2 ,   2 ,   2

∇ f x , y , z = 2 x , 2 y , 0 ⇒ ∇ g 1 ,   1 ,   1 = ( 2 ,   2 ,   0 )

Passo 2

O vetor tangente à curva dada pela intersecção de duas superfícies será ortogonal ao vetor normal de cada superfície. Assim, ele pode ser obtido pelo produto vetorial desses dois vetores:

γ ' t 0 = 2 ,   2 ,   2 × 2 ,   2 ,   0 = i → j → k → 2 2 2 2 2 0

Portanto,

γ ' t 0 = ( - 4 ,   4 ,   0 )

Por simplicidade, como só estamos interessados na direção desse vetor, vamos escolher u → = ( 1 ,   - 1 ,   0 ) como vetor diretor para a reta tangente.

Passo 3

A equação da reta é dada por

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + λ u →

Assim,

x , y , z = 1 ,   1 ,   1 + λ ( 1 , -   1 ,   0 )

Passo 4

Para o item (b) nós precisamos achar uma parametrização para essa curva. Sabemos que ela satisfaz as equações

x 2 + y 2 = 2 x 2 + y 2 + z 2 = 3

Note que substituindo a primeira equação na segunda nós obtemos

2 + z 2 = 3 ⇒ z = ± 1

Vamos escolher o sinal positivo, de modo que z = 1 . Para x e y , podemos escolher

x = 2 cos ⁡ t         e         y = 2   s e n   t

Assim,

γ t = 2 cos ⁡ t ,   2   s e n   t ,   1

Resposta

x , y , z = 1 ,   1 ,   1 + λ ( 1 , -   1 , 0 )

γ t = 2 cos ⁡ t ,   2   s e n   t ,   1

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