Enunciado

Seja f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 e seja γ t = x t , y t , z t uma curva diferenciável cuja imagem está contida na superfície de nível x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Seja γ t 0 = x 0 , y 0 , z 0 . Prove que γ ' t 0 ⋅ ∇ f x 0 , y 0 , z 0 = 0 . Interprete geometricamente.

Passo 1

A curva γ ( t ) é definida dentro da superfície de nível x 2 + y 2 + z 2 = 1 que é a esfera unitária.

Como a curva está contida na esfera, γ ' t é sempre tangente à esfera.

O gradiente de f é definido como

∇ f x , y , z = f x x , y , z , f y x , y , z , f z x , y , z

Que são justamente os coeficientes do plano tangente a superfície de nível x 2 + y 2 + z 2 = 1 , ou seja, ∇ f x , y , z é sempre um vetor normal à superfície de nível.

Como γ ' t é tangente à esfera e ∇ f x , y , z é normal, se pegarmos um ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) , tal que γ t 0 = x 0 , y 0 , z 0 , podemos afirmar que

γ ' t 0 ⋅ ∇ f x 0 , y 0 , z 0 = 0

Passo 2

Vamos utilizar um exemplo, a circunferência unitária é uma curva pertencente a esfera e pode ser parametrizada como γ t = cos ⁡ t , sen ⁡ t , 0 .

Derivando γ ( t )

γ ' t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t , 0

E o gradiente de f

f x x , y , z = 2 x

f y x , y , z = 2 y

f z x , y , z = 2 z

E o gradiente é dado por

∇ f x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

No ponto t 0 temos γ t 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) , mas sabemos que γ t = cos ⁡ t , sen ⁡ t , 0 , então

x 0 = cos ⁡ t 0

y 0 = sen ⁡ t 0

z 0 = 0

Na derivada γ ' t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t , 0 , quando t = t 0

γ ' t 0 = - sen ⁡ t 0 , cos ⁡ t 0 , 0

γ ' t 0 = - y 0 , x 0 , 0

E o gradiente no ponto ( x 0 , y 0 , z 0 )

∇ f x 0 , y 0 , z 0 = 2 x 0 , 2 y 0 , 2 z 0

Calculando então o produto escalar

γ ' t 0 ⋅ ∇ f x 0 , y 0 , z 0 = - y 0 , x 0 , 0 ⋅ 2 x 0 , 2 y 0 , 2 z 0

= - 2 x 0 y 0 + 2 x 0 y 0 + 0 = 0

E de fato os vetores são perpendiculares.

Passo 3

Usando nosso exemplo para a representação geométrica, no ponto t = 0 , γ 0 = 1 , 0 , 0 a derivada γ ' 0 = 0 , 1 , 0 e o gradiente ∇ f 1,0 , 0 = 2,0 , 0 :

Resposta

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