Enunciado

Imagine um cabo, como de telefone ou de TV, preso por dois suportes e solto entre eles. O peso do cabo por unidade de comprimento é uma constante w , e a tensão horizontal em seu ponto mais baixo é um vetor de comprimento H .

Se adotarmos um sistema cartesiano para o plano do cabo no qual o eixo x seja horizontal, a força da gravidade aponta para baixo, o eixo y positivo aponta para cima e o ponto mais baixo do cabo está em   y = H / w   no eixo y (veja a figura a seguir), então é possível mostrar que o cabo acompanha o gráfico do cosseno hiperbólico

y = H w cosh ⁡ w H x

Às vezes, essa curva é denominada curva da corrente ou catenária; esse último termo vem do latim catena, que significa "corrente"

  1. Seja P ( x , y ) um ponto arbitrário no cabo. A figura a seguir mostra a tensão em P como um vetor de comprimento (magnitude) T, bem como a tensão H em seu ponto mais baixo A. Demonstre que o coeficiente angular do cabo em P é
  2. Usando o resultado obtido no item (a) e o fato de que a tensão horizontal em P deve ser igual a H ( o cabo não está em movimento), demonstre que T = w y . Isso significa que a magnitude da tensão em P ( x , y ) é exatamente igual ao peso de y unidades do cabo.

Passo 1

  1. Vamos calcular a derivada da função y = H w cosh ⁡ w H x
  2. Considerando a variável x . Os outros termos são constantes...

    d y d x = H w w H   s e n h   w H x

    d y d x = s e n h   w H x  

    Como queríamos mostrar, o coeficiente angular é dado por t g ϕ = d y d x = s e n h   w H x  

    Passo 2

  3. A tensão em P é dada por T c o s   ϕ = H → T = H   s e c ϕ

Vamos usar a identidade trigonométrica e fazer:

T = H 1 + t g 2 ϕ

Agora a gente substitui pelo valor encontrado no item anterior...

T = H 1 + s e n h   w H x   2

E isso resulta em...

T = H c o s h   w H x

Agora a gente faz uma manipulaçãozinha...

T = H c o s h   w H x = w H w cosh ⁡ w H x

E como y = H w cosh ⁡ w H x

Chegamos em:

T = w H w cosh ⁡ w H x = w y

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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