Enunciado

No início desta seção consideramos a função

f x , y = sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

e conjecturamos que f x ,   y → 1 quando x ,   y → ( 0 ,   0 ) com base em evidências numéricas. Utilize coordenadas polares para comprovar o valor do limite. Em seguida, faça o gráfico da função.

Passo 1

Show de bola, galera. Nosso primeiro passo será lembrar a substituição que fazemos para trabalhar com coordenadas polares:

x = r ∙ cos ⁡ θ y = r ∙ sen ⁡ θ

Retornando ao nosso limite, temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = lim r → 0 ⁡ sen ⁡ r 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ⏞ 1 r 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ⏟ 1 = lim r → 0 ⁡ sen ⁡ r 2 r 2 ⇒ L i m i t e   f u n d a m e n t a l 1

Show de bola, galera! Agora vamos só dar uma olhada no gráfico dessa nossas função para observar o seu comportamento.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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