Enunciado

A instrução para a integral ∫ 0 π s e n   t   d t , têm duas partes, uma para a regra do trapézio e uma para a regra de Simpson.

Passo 1

Para a realização desta questão é pertinente que relembremos a regra do trapézio e a regra de Simpson para integrais.

A regra do trapézio utiliza de trapézios no lugar de retângulos para estimar uma integral definida f, de a até b. Além disso, calculamos T no lugar da integral f, sendo T dado por:

T = ∆ x 2 (y0 + 2y1 + 2y2 + ... + 2yn-1 + yn)

A regra de Simpson utiliza um sistema de troca parecido, no entanto, são usadas parábolas. E para o seu cálculo apresentamos a letra S no lugar da integral f, sendo S dado por:

S = ∆ x 3   (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + ... + 2yn-2 + 4yn-1 + yn)

OBS: O tamanho da malha (comprimento do subintervalo), é relacionado por: ∆ x = (b – a)/n

Passo 2

| ET | ≤   ( b - a ) 12 m( ∆ x ) 2.

(a) ∆ x = ( π   –   0 ) 4 = π 4

T = π / 4 2 (0 + 2 * 2 2 + 2 * 1 + 2 *   2 2 + 0)

T = π 8 (0 + 2 + 2 + 2 + 0)

T = π 8 (2+ 2 ) ≈ 1,89612

f(t) = sen t => f’(t) = cos t => f”(t) = - sen t;

Logo o M = f”(t3) = - sen π 2 = 1 e | ET | ≤   ( π - 0 ) 12 1 π 4 2 = π 2 192

OBS : O limite superior é um valor do “pior caso”, de modo que | f”(x) | ≤ M em [a,b]. E para determiná-lo substituímos o xi que levaria ao maior valor correspondente na segunda derivada.

Para a letra (b), devemos calcular a integral de forma direta (aplicada na fórmula tradicional), e encontrar | ET | ( p e l a   f ó r m u l a   | ET | = ∫ a b f ( x )   d x – T).

(b) ∫ 0 π s e n   t   d t

= - cos ⁡ t 0 π

        =   - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0

= - cos ⁡ π + cos ⁡ 0 = 2

| ET | = ( ∫ 0 π s e n   t   d t ) – T = 2 – 1,89612 = 0,10388

Em relação a letra (c), precisamos somente aplicar a fórmula administrada.

(c) | E T |   ( V a l o r   r e a l ) * 100 = 0,10388 2 * 100 ≈ 5%

Passo 3

| ES | ≤   ( b - a ) 180 m( ∆ x ) 4.

(a) ∆ x = ( π   –   0 ) 4 = π 4

S = π / 4 3 (0 + 4 * 2 2 + 2 * 1 + 4 *   2 2 + 0)

S = π 12   (0 + 2 2 + 2 + 2 2 + 0)

S = π 12 (2+ 4 2 ) 2,00456

f(t) = sen t => f’(t) = cos t => f”(t) = - sen t => f(4)(t) = sen t

Logo o M = f(4)(t3) = sen π 2 = 1 e | ES | ≤   ( π - 0 ) 180 1 π 4 4 ≈ 0,00664

OBS : O limite superior é um valor do “pior caso”, de modo que | f(4)(x) | ≤ M em [a,b]. E para determiná-lo substituímos o xi que levaria ao maior valor correspondente na quarta derivada.

Para a letra (b), devemos calcular a integral de forma direta (aplicada na fórmula tradicional), e encontrar | ES | ( p e l a   f ó r m u l a   | ES | = ∫ a b f ( x ) d x – S).

(b) ∫ 0 π s e n   t   d t

= - cos ⁡ t 0 π

        =   - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0

= - cos ⁡ π + cos ⁡ 0 = 2

| ES | = ( ∫ 0 π s e n   t   d t ) – S = 2 - 2,00456 = - 0,00456 = 0,00456

Em relação a letra (c), precisamos somente aplicar a fórmula administrada.

(c) | E S |   ( V a l o r   r e a l ) * 100 = 0,00456 2 * 100 ≈ 0%

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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