Enunciado

Integrais de funções não negativas. Use a desigualdade max-min para mostrar que, se f é integrável, então:

f x ≥ 0   e m   a ,   b ⇒ ∫ a b f x d x ≥ 0 .

Passo 1

Então galera, de acordo com o que a seção 3 do George nos mostra, temos que a desigualdade é dada da seguinte forma:

min ⁡ f ∙ ( b - a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ max ⁡ f ∙ ( b - a )

Ok!

Como f x ≥ 0 , isso implica que a função é crescente em todo o intervalo dado, certo? Então temos que b ≥ a e, consequentemente, b - a ≥ 0 . Dessa forma, como min ⁡ f e max ⁡ f são valores positivos SEMPRE, já que f x ≥ 0 , então as multiplicações:

min ⁡ f ∙ ( b - a ) e max ⁡ f ∙ b - a

Sempre serão positivas! E como a integral dada possui um resultado que está ENTRE esses valores, a única conclusão lógica é de o valor da integral também será positivo (ou nulo). Logo:

∫ a b f x d x ≥ 0

E essa é a demonstração, pessoal! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Esboce o gráfico de cada função no intervalo dado. Em seguida, use fórmulas de área simples da Geometria para encontrar a função área A ( x ) que dá a área entre o gráfico da função f especificada e o
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