Enunciado

Demonstre que não é possível que o valor de ∫ 0 1 s e n ( x 2 ) d x seja 2.

Passo 1

Da trigonometria mesmo, temos o seguinte:

- 1 ≤ s e n ( x 2 ) ≤ 1

Que é uma desigualdade bastante conhecida, não é mesmo? Para respondermos a pergunta que nos foi feita pela questão, podemos utilizar a desigualdade max-min, discutida na seção 3 do George, ok? A desigualdade max-min nos diz que:

min ⁡ f ∙ ( b - a ) ≤ ∫ 0 1 1 1 + x ² d x ≤ max ⁡ f ∙ ( b - a )

Passo 2

Escrevendo a função seno que nos foi dada como uma integral nos intervalos de máximo e mínimo, teremos:

min ⁡ f ∙ ( b - a ) ≤ ∫ 0 1 s e n ( x 2 ) d x ≤ max ⁡ f ∙ ( b - a )

- 1 . 1 - 0 ≤ ∫ 0 1 s e n x 2 d x ≤ 1 . ( 1 - 0 )

Esse resultado nos diz que o valor da integral sempre será menor ou igual a 1, que responde a questão.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use as propriedades de integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais. π 6 ≤ ∫ π / 6 π / 2 sen ⁡ x d x ≤ π 3
Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral. ∫ 0 2 x 3 + 1d x
Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral. ∫ π / 4 3 π / 4 sen 2 ⁡ xd x
∫ 8 t 3 + t 2 2 + t d t
Resolva a integral: ∫ 1 1 1 + x 4 d x