Enunciado

As integrais e somas de integrais nos Exercícios 13-18 fornecem as áreas das regiões no plano xy. Esboce cada região, marque cada curva limitante com sua equação e forneça as coordenadas dos pontos onde as curvas apresentam interseção. Em seguida, encontre a área da região.

∫ 0 6 ∫ y 2 3 2 y d x   d y

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Nos exercícios anteriores tínhamos definido a integral pela função, agora de maneira contraria vamos encontrar a função pela integral. Sendo assim, nós temos que a função que limita os pontos é dado por x, veja que x = y 2 3 e vai até x = 2 y . Se fizermos um esboço dessas funções temos:

Onde temos, como mostrado na integral y indo de 0 a 6.

Passo 2

Para acharmos os pontos de interseção, basta igualarmos as equações. Assim:

y 2 3 = 2 y

y 2 - 6 y = 0

y = 6 ± 6 2 - 4 × 1 × 0 2

y 1 = 0

y 2 = 6

Onde comprovamos pela figura que (0,6) são de fato os pontos de interseção.

Passo 3

∫ 0 6 ∫ y 2 3 2 y d x   d y

∫ 0 6 2 x - y 2 3 d y

x 2 - 1 9 y 3 0 6

36 - 2 × 3 3 3 2

2 × 3 2 - 2 3 3

2 2 3 2 - 2 3 3

2 2 3 2 - 6

2 2 3

12

Resposta

Os pontos de interseção são:

y 1 = 0

y 2 = 6

Valor da integral:

12

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