Enunciado

Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo I I . Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras.

∬ D x y d A ,     D   é   l i m i t a d a   p e l a s   r e t a s   y = x 2 ,   y = 3 x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Como D é limitado pelas retas y = x 2 e y = 3 x , vamos plotar estas retas para ver como fica a região D :

Nosso objetivo é expressar D como uma região do tipo I e também do tipo I I e em seguida encontrar a integral dupla das duas maneiras.

Passo 2

Podemos definir esta região como do tipo I I , quando:

D x , y y 3 ≤ x ≤ y ,   0 ≤ y ≤ 9

Temos então que:

∬ D f x , y d A = ∫ 0 9 ∫ y 3 y x y d x d y

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ y 3 y x y d x = y x 2 2 y 3 y

∫ y 3 y x y d x = y 2 x 2 y 3 y

∫ y 3 y x y d x = y 2 y 2 - y 3 2

∫ y 3 y x y d x = y 2 y - y 2 9

∫ y 3 y x y d x = y 2 2 - y 3 18

Logo:

∫ 0 9 ∫ y 3 y x y d x d y = ∫ 0 9 y 2 2 - y 3 18 d y

∫ 0 9 y 2 2 - y 3 18 d y = ∫ 0 9 y 2 2 d y - ∫ 0 9 y 3 18 d y

Resolvendo, temos:

∫ 0 9 y 2 2 d y - ∫ 0 9 y 3 18 d y = y 3 6 0 9 - y 4 72 0 9

∫ 0 9 y 2 2 d y - ∫ 0 9 y 3 18 d y = 9 3 6 - 9 4 72

∫ 0 9 y 2 2 d y - ∫ 0 9 y 3 18 d y = 30,375

Portanto:

∬ D f x , y d A = ∫ 0 9 ∫ y 3 y x y d x d y = 30,375

Passo 3

Agora vamos definir D como uma região do tipo I . Temos:

D x , y 0 ≤ x ≤ 3 ,   x 2 ≤ y ≤ 3 x

Temos então que:

∬ D f x , y d A = ∫ 0 3 ∫ x 2 3 x x y d y d x

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ x 2 3 x x y d y = x y 2 2 x 2 3 x

∫ x 2 3 x x y d y = x 2 y 2 x 2 3 x

∫ x 2 3 x x y d y = x 2 3 x 2 - x 2 2

∫ x 2 3 x x y d y = x 2 9 x 2 - x 4

∫ x 2 3 x x y d y = 9 x 3 2 - x 5 2

Logo:

∫ 0 3 ∫ x 2 3 x x y d y d x = ∫ 0 3 9 x 3 2 - x 5 2 d x

∫ 0 3 ∫ x 2 3 x x y d y d x = ∫ 0 3 9 x 3 2 d x - ∫ 0 3 x 5 2 d x

Resolvendo, temos:

∫ 0 3 9 x 3 2 d x - ∫ 0 3 x 5 2 d x = 9 x 4 8 0 3 - x 6 12 0 3

∫ 0 3 9 x 3 2 d x - ∫ 0 3 x 5 2 d x = ( 9 ) 3 4 8 - 3 6 12

∫ 0 3 9 x 3 2 d x - ∫ 0 3 x 5 2 d x = 30,375

Portanto:

∬ D f x , y d A = ∫ 0 3 ∫ x 2 3 x x y d y d x = 30,375

Resposta

∬ D f x , y d A = ∫ 0 9 ∫ y 3 y x y d x d y = 30,375

∬ D f x , y d A = ∫ 0 3 ∫ x 2 3 x x y d y d x = 30,375

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Calcule as integrais, para as regiões D indicadas. b∫ ∫ D cos ⁡ y 3 d x d y;Dl i m i t a d ap o ry = x ,y = 2ex = 0
As integrais abaixo não podem ser calculadas exatamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada. Inverta a ordem de integração e faça os cálculos. b∫ 0 1 ∫ x 1 s e n y y d y
Determine a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integraisa. ∫ 0 1 ∫ x 3 x f x , y d y d x
Determine a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integraisb. ∫ 0 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y f x , y d x d y